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∫∫√(R^2-x^2-y^2) dσ, 其中d为闭区域:x^2+y^2<=R^2, 求二重积分的值？

答案是：2/3πR^3

2024-11-25 08:59:57

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回答1：

极坐标变换：x＝rcosa，y＝rsina，0<=a<=2pi，0<=r<=R。
注意到Jacobian行列式为r，于是原积分
＝∫ (从0到2pi)da ∫(从0到R)√(R^2-r^2)rdr
＝2pi*【－(R^2-r^2)^(3/2)/3】|上限R下限0
＝2pi*R^3/3。

回答2：

∫∫√(R^2-x^2-y^2) dσ
=∫∫(R²-p²)pdpdθ 积分域为整个圆

=4∫∫√(R²-p²)pdpdθ 这儿为4分之1圆
=4∫（0，π/2）dθ∫(0,R)√R²-p²pdp
=-1/2*4∫（0，π/2）2/3(R²-p²)^(3/2)|（0，R）dθ
=-2*π/2*2/3*(-（R²）^(3/2))
=2/3πR^3