计算：1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3）+（1+2+3+4）+---+（1+2+3+---+100） =（ ）

1=1*2/2
1+2=2*3/2
1+2+3=3*4/2
.........
1+2+3+4+5+...+100=100*101/2

所以原式=(1*2+2*3+...+100*101)/2
所以只要求1*2+2*3+...+100*101

因为1*2=(1*2*3-0*1*2)/3
2*3=(2*3*4-1*2*3)/3
..........
100*101=(100*101*102-99*100*101)/3

以上100个式子的左边加左边=右边加右边
得：1*2+2*3+...+100*101=100*101*102/3
所以原式等于100*101*102/6=171700

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1+（1+2）+(1+2+3)+....+(1+2+3+4+...+99) //前99项之和
=(100-1)*1+(100-2)*2+(100-3)*3+...+(100-99)*99 //99个1,98个2,97个3，。。1个99
=100(1+2+..+99)-(1^2+2^2+3^2+..+99^2)
=100*[99*(1+99)/2]-99*(99+1)*(2*99+1)/6

最终结果=100*99*(50-199/6) + (1+2+3+..+100) //最后一项
=100*99*(50-199/6)+ 50*101
=(500000-5000)-50*33*199+5050
=500000+50-50*33*199
=500000+50-1650*(200-1)
=171700

用到的2个公式
1+2+..+n=n(n+1)/2
1^2+2^2+..+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

利用公式
1+2+3+……+n=n(n+1)/2
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

1=1*2/2
1+2=2*3/2
1+2+3=3*4/2
.........
1+2+3+4+5+...+100=100*101/2
所以原式等于(1*2+2*3+...+100*101)/2
所以只要求1*2+2*3+...+100*101

原式=1/2(1*2+2*3+3*4+....+100*101)
=1/2(1^2+1 +2^2+2 +3^3+3+... + 100^2+100)
=1/2[(1^2+2^2+3^2+...+100^2)+ (1+2+3+...+100)]
=1/2[100*101*201/6 + 100*101/2]
=1/2*100*101* (201/6+1/2)
=1/2*100*101 *1/2* 68
=171700

这个式子求和就是 i(i+1)/2 i从1到100的求和
其中i^2/2，i从1到n的求和是n(n+1)(2n+1)/12
i/2，i从1到n的求和是n(n+1)/4
加起来是n(n+1)(n+2)/6
令n=100，得到
100*101*102/6=171700

1+2+3+-----+n=n(n+1)/2=n^2/2+n/2
1+（1+2）+（1+2+3）+---+（1+2+---+n）=1^2/2+1/2+2^2/2+2/2+----+n^2/2+n/2=(1^2+2^2+-----+n^2)/2+(1+2+---+n)/2=[n(n+1)(2n+1)]/12+[n(n+1)]/4
n=100,即上式等于171700
（1^2+2^2+3^2+-----+n^2=[n(n+1)(2n+1)]/6)