230问答网 > 已知abc=1,a+b+c=2,a^2+b^2+c^2=3,求1⼀（ab+c-1)+1⼀(bc+a-1)+1⼀(ca+b-1).

已知abc=1,a+b+c=2,a^2+b^2+c^2=3,求1⼀（ab+c-1)+1⼀(bc+a-1)+1⼀(ca+b-1).

2024-12-21 18:43:20

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回答1：

已知：abc=1，a+b+c=2，a^2+b^2+c^2=3,
∴(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+c)，即4=3+2(ab+bc+ca)，∴ab+bc+ca=1/2

∵a+b+c=2，∴c=2-a-b，∴ab+c-1=ab+2-a-b-1=1-a-b+ab=(1-a)(1-b)
同理：bc+a-1=(1-b)(1-c)，ca+b-1=(1-c)(1-a)
∴1/（ab+c-1)+1/(bc+a-1)+1/(ca+b-1)=1/[(1-a)(1-b)]+1/[1-b)(1-c)]+1/[(1-c)(1-a)]
= [(1-c)+(1-a)+(1-b)] / [(1-a)(1-b)(1-c)]
= [3-(a+b+c)] / [1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc]
= [3-2] / [1-1+1/2-1]
= 1/(-1/2)
= -2