初中数学奥数题

1、设 ，则代数式 的值为（　C　）
A．0　　　　　B．1　　　　C．－1　　　　D．2
2、对于任意实数 ，定义有序实数对 与 之间的运算“△”为： 。如果对于任意实数 ，都有 ，那么 为（　B　）。
A． 　　　B． 　　　C． 　　　D．
3、已知 是两个锐角，且满足 ， ，则实数 所有可能值的和为（　C　）
A． 　　　　　B． 　　　　C．1　　　　D．
A
B
C
E
D
F
4、如图，点 分别在△ABC的边AB，AC上，BE，CD相交于点F，设 ， ， ， ，则 与 的大小关系为（　C　）
A． ＜
B． ＝
C． ＞
D．不能确定
5、设 ，则4S的整数部分等于（　A　）
A．4　　　　B．5　　　　　C．6　　 　　D．7
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
　 6、两条直角边长分别是整数 （其中 ），斜边长是 的直角三角形的个数为＿＿31＿＿。
　 7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8。同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为5的概率是＿＿＿＿。
y
x
C
A
B
E
F
O
　 8、如图，双曲线 与矩形OABC的边CB，BA分别交于点E，F且AF＝BF，连接EF，则△OEF的面积为＿＿＿＿＿；
9、⊙ 的三个不同的内接正三角形将⊙ 分成的区域的个数为＿＿＿＿＿。28
10、设四位数 满足 ，则这样的四位数的个数为＿＿＿。5
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11、已知关于 的一元二次方程 的两个整数根恰好比方程 的两个根都大1，求 的值。
解：设方程 的两个根为α、β，其中α、β为整数，且α≤β
则方程 的两个整数根为α＋1、β＋1，
由根与系数关系得：α＋β＝－a，(α＋1)(β＋1)＝a
两式相加得：αβ＋2α＋2β＋1＝0即(α＋2)(β＋2)＝3
∴ 或 解得： 或
又∵a＝－(α＋β)，b＝αβ，c＝－[(α＋1)＋(β＋1)]
∴a＝0，b＝－1，c＝－2或a＝8，b＝15，c＝6
故 ＝－3或 ＝29
A
B
C

H

P
D
Q
12、如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙ 和△BCH的外接圆⊙ 相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点。
证明：如图，延长AP交⊙ 于点Q
连结AH，BD，QC，QH
∵AB为直径 ∴∠ADB＝∠BDQ＝900
∴BQ为⊙ 的直径
于是CQ⊥BC，BH⊥HQ
∵点H为△ABC的垂心 ∴AH⊥BC，BH⊥AC
∴AH∥CQ，AC∥HQ，四边形ACHQ为平行四边形
则点P为CH的中点。

13、若从1，2，3，…， 中任取5个两两互素的不同的整数 ， ， ， ， ，其中总有一个整数是素数，求 的最大值。
解：若n≥49，取整数1，22，32，52，72，这五个整数是五个两两互素的不同的整数，但没有一个整数是素数，∴n≤48，在1，2，3，┉┉，48中任取5个两两互素的不同的整数 ， ， ， ， ，
若 ， ， ， ， 都不是素数，则 ， ， ， ， 中至少有四个数是合数，不妨假设 ， ， ， 为合数，
设 ， ， ， 的最小的素因数分别为p1，p2，p3，p4
由于 ， ， ， 两两互素，∴p1，p2，p3，p4两两不同
设p是p1，p2，p3，p4中的最大数，则p≥7
因为 ， ， ， 为合数，所以 ， ， ， 中一定存在一个
aj≥p2≥72＝49，与n≥49矛盾，于是 ， ， ， ， 中一定有一个是素数
综上所述，正整数n的最大值为48。

14、如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2AC。点P在△ABC内，且PA＝ ，PB＝5，PC＝2，求△ABC的面积。
解：如图，作△ABQ，使得：∠QAB＝∠PAC，∠ABQ＝∠ACP，
A
C
P
B
Q
M
则△ABQ∽△ ACP，由于AB＝2AC，∴相似比为2
于是，AQ＝2 AP＝2 ，BQ＝2CP＝4
∠QAP＝∠QAB＋∠BAP＝∠PAC＋∠BAP＝∠BAC＝60°
由AQ：AP＝2：1知，∠APQ＝900
于是，PQ＝ AP＝3
∴BP2＝25＝BQ 2＋PQ 2 从而∠BQP＝900
作AM⊥BQ于M，由∠BQA＝1200，知
∠AQM＝600，QM＝ ，AM＝3，于是，
∴AB2＝BM 2＋AM 2 ＝(4＋ ) 2＋32＝28＋8
故S△ABC＝ AB•ACsin600＝ AB 2＝

（1）甲学校和乙学校有同样多的学生参加学科竞赛。（2）学校用汽车把学生送往考场。甲校的汽车，每车坐15人，乙校用的汽车，每车坐13人。（3）结果乙校比甲校多派一辆汽车。后来各校增加一人参赛，这样两校需要的汽车就一样多了。（4）最后又决定每校各增加一人参加比赛，乙校又比甲校多派了一辆汽车。（5）问最后两校共有多少人参加竞赛？

自行车前轮行驶9000千米报废，后轮行驶7000千米报废，前后轮可在适当的时候交换位置，一辆自行车同时换上一对新轮胎，最多可以行驶多少千米 ?

年级？ 可以查一下希望杯，全国初中数学竟赛的题目