牛吃草问题

1.
一个牧场长满青草，牛在吃草而草又不断匀速生长，27头牛6天可以把牧场上的草全部吃完；23头牛吃完牧场全部的草则要9天，若21头牛来吃，几天吃完？
答案
这种问题叫:牛顿问题 完整解题思路: 假设每头牛每天的吃草量为1,则27头6天的吃草量为27×6=162；23头牛9天的吃草量为23×9=207。207与162的差就是（9-6）天新长出的草，所以牧场每天新长出的草量是（207-162）÷（9-6）=15 因为27头牛6天吃草量为162，这6天新长出的草之和为15×6=90，从而可知牧场原有的划量为162-90=72 牧场每天新长的草够15头牛吃一天，每天都让21头牛中的15头牛吃新长出的草，其余的21-15=6（头）专吃原来的草。所以牧场上的草够吃72÷6=12（天），也就是这个牧场上的草够21头牛吃12天。
综合算式：[27×6-（23×9-27×6）÷（9-6）×6]÷[21-（23×9-27×6）÷（9-6）]=12（天）
牛吃草问题是小学奥数的一类难题,记得在某本书上看到过：“牛吃草问题就是追及问题，牛吃草问题就是工程问题。”对于前半句很好理解，给孩子讲的时候，也是按追及问题的思路来讲的。而对于后半句，直到上周才算明白。
2.
小军家的一片牧场上长满了草，每天草都在匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可供12头牛吃15天。如果小军家养了24头牛，可以吃几天？
答案
草速：（10×20－12×15）÷（20－15）=4
老草（路程差）： 根据：路程差=速度差×追及时间
（10－4）×20=120 或 （12－4）×15=120
追及时间=路程差÷速度差： 120÷（24－4）=6（天）
3.
一个牧场可供58头牛吃7天，或者可供50头牛吃9天。假设草的生长量每天相等，每头牛的吃草量也相等，那么，可供多少头牛吃6天？
答案
草速：（50×9－58×7）÷（9－7）=22
老草（路程差）： (50－22）×9=252 或 (58－22）×7=252
求几头牛就是求牛速,牛速=路程差÷追及时间＋草速 252÷6＋22=64(头)

牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰（1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。这四个公式是解决消长问题的基础。由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。
　　牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。　　解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。　　这类问题的基本数量关系是：　　1.(牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数)÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。　　2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草

1、一片牧场，牧草每天生长一样快。已知这片牧场的草可供10只羊吃20天，或可供14只羊吃12天。那么这片牧场每天新长的草够2只羊吃多少天？
解：设每只羊每天吃草量为单位1。
那么：
10只羊吃20天的吃草量为：10×20=200个单位1，等于草场上原有草量与20天草的生长量之和。
14只羊吃12天的吃草量为：14×12=168个单位1，等于草场上原有草量
与10天草的生长量之和。
比较二式可发现，两者相差的是10天草的生长量。从而可以求出草场上的草每天的生长量为：（10×20-14×12）÷（20-10）=3.2个单位1
草场上的划20天的生长量为：
3.2×20=64个单位1
从而可以求出草场上原有的草量为：
200-64＝=136个单位1
因为每只羊每天吃草量为单位1，3.2只羊每天吃草1×3.2=3.2单位1，正好是草场上的草每天的生长量，所以把10只羊分为3.2和6.8两部分，其中的3.2只羊专门吃每天生长的3.2个单位的草，剩下的6.8只羊专门吃草场上原有的草，可以吃
136
÷（1×6.8）=20（天）
那么这片牧场每天新长的草够2只羊吃3.2/2＝1.6天
2、一片牧场，草每天匀速生长，若放24头牛，6天吃完这片草。若放21头牛，8天吃完这片草若每头牛每天吃草量相等，16头牛几天吃完这片草？若要使这片草永远吃不完最多养几头牛？
解：设每头牛每天吃草量为单位1。
那么：
24头牛吃6天的吃草量为：24×6=144个单位1，等于草场上原有草量与6天草的生长量之和。
21头牛吃8天的吃草量为：21×8=168个单位1，等于草场上原有草量与8天草的生长量之和。
草场上的草每天的生长量为：（21×8-24×6）÷（8-6）=12个单位1
从而可以求出草场上原有的草量为
21×8-12×8＝72个单位1
则16头牛72/（16-12）＝18天吃完这片草；
若要使这片草永远吃不完最多养12/1＝12头牛。
注释：
同一片牧场中的牛吃草问题。一般的解法是：
两种吃草方式的草总量之差÷时间差=生长速度
一种吃法的草总量-一段时间草生长总量=原有草量
原有草量÷（牛的头数-吃新生草牛头数）=能吃的时间
或：原有草量所需牛的头数+吃新草头数
=
所需牛的头数

每头牛每天吃1个单位的草，那么15头吃10天吃150个单位的草，20头牛吃9天吃了180个单位的草，这些草应该包括原草量a，和每天长的草量b
那么15头吃10天吃了a+10b,20头牛吃9天a+9b,a+10b>a+9b,这与150<180矛盾，所以题目错了。
下面举个例子说明牛吃草问题：
一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？
解
草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5
天内的草总量要5
天吃完的话，得有多少头牛？
设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：
（1）求草每天的生长量
因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以
1×10×20＝原有草量＋20天内生长量
同理
1×15×10＝原有草量＋10天内生长量
由此可知
（20－10）天内草的生长量为
1×10×20－1×15×10＝50
因此，草每天的生长量为
50÷（20－10）＝5
（2）求原有草量
原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100
（3）求5
天内草总量
5
天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125
（4）求多少头牛5
天吃完草
因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。
因此5天吃完草需要牛的头数
125÷5＝25（头）
答：需要5头牛5天可以把草吃完。