求级数∑n 눀x∧n的和函数

解：设g(x)=∑x^(n+1)/(n+1)

则g'(x)=∑x^n=x/(1-x)=-1+1/(1-x), 收敛域为|x|<1

∴g(x)=C-x-ln(1-x)

∴∑[(-1)^(n+1)][nx^n]=x[x/(1+x)]'=x/(1+x)^2

∴S(x)=x[x/(1+x)^2]'=x(1-x)/(1+x)^3

扩展资料

性质：

G(x)=G(G(x))；

G(a+b)=G(G(a)+G(b));

G(a-b)=G(G(a)-G(b));

G(a*b)=G(G(a)*G(b));

G(x^p)=G(l^g),其中x ≡ l (mod 9) ,p ≡ g (mod 6)。

正项级数代表着收敛性最简单的情形。在这种情形，级数级数的部分和 sm=u1+u2+…+um随着m单调增长，等价于级数的一般项un≥0(因此，有时也称为非负项级数)。于是级数(∑un)收敛等价于部分和(sm)有界。项越小，部分和就越倾向于有界，因而正项级数有比较判别法。

正项级数之外，如果一个级数没有正向，或者只有有限个正项，或者只有有限个负项，则其收敛问题都可以归结到一个正项级数的收敛问题，所以只需考虑一个级数既有无限个正项又有无限个负项的情形。在这种级数中，结构最简单的是正负号逐项相间的级数，是交错级数。

简单计算一下即可，答案如图所示

解：分享一种解法。【用“[.]'”表示求导】
设S(x)=∑[(-1)^(n+1)](n^2)x^n，则S(x)=x∑[(-1)^(n+1)](n^2)x^(n-1)=x∑[(-1)^(n+1)][nx^n]'，
又，∑[(-1)^(n+1)][nx^n]=x∑[(-1)^(n+1)]nx^(n-1)=x∑[(-1)^(n+1)][x^n]'，
而在其收敛域内，∑[(-1)^(n+1)][x^n]=x/(1+x)，
∴∑[(-1)^(n+1)][nx^n]=x[x/(1+x)]'=x/(1+x)^2，
∴S(x)=x[x/(1+x)^2]'=x(1-x)/(1+x)^3。