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已知函数f(x)=-1尀2x^2+2x-ae^x (1)a=1求f(x)在x=1处的切线方程

(2)若f(x）在R上是增函数求a取值

2025-03-19 15:52:05

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回答1：

1. a=1 f(x)=-x^2/2+2x-e^x
f'(x)=-x+2-e^x
k=f'(1)=1-e
x=1 f(1)=3/2-e 切点为（1，3/2-e）
切线方程为 y+e-3/2=(1-e)(x-1)
整理得 y=(1-e)x+1/2
2. f'(x)=-x+2-ae^x
若f(x）在R上是增函数，则f'(x)在R上>=0恒成立
(1) a>=0时不满足
（2）a<0时
y=-x+2-ae^x
y'=-1-ae^x
y'>0 -1-ae^x>0 e^x>-1/a x>ln(-1/a)
y'=0 -1-ae^x=0 e^x=-1/a x=ln(-1/a)
y'<0 -1-ae^x<0 e^x<-1/a x所以 x=ln(-1/a) ymin=-ln(-1/a)+2+1=3-ln(-1/a)>=0
3>=ln(-1/a)
0<-1/a<=e^3
所以a取值范围 -1/e^3<=x<0