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如图所示,梯形ABCD中,AD‖BC,M是AB的中点,DM平分∠ADC,CM平分∠BCD

求证：（1）S△DMC=二分之一S梯形ABCD（2）DC=AD+BC

2024-12-19 18:49:15

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回答1：

延长DM交CB的延长线于点E,
∵AD∥BC
∴∠A=∠ABE
∵∠AMD=∠BME,AM=BM
∴⊿ADM≌⊿EBM
∴S⊿AMD＝S⊿EBM,MD=EM
∴S⊿DMC=S⊿EMC=S⊿BMC+S⊿EBM=S⊿BMC+S⊿AMD
∴S△DMC=二分之一S梯形ABCD
(2)∵⊿ADM≌⊿EBM
∴∠ADM=∠E,EB=AD
∵∠ADM=∠EDC
∴∠E＝∠EDC
∴⊿EDC为等腰三角形
∴CD=EC=EB+BC=AD+BC

回答2：

（1）由图知，角A和角B为90度，过M做CD的垂线MN，那么MN＝AM＝BM（角平分线），同样，角ADM＝角CDM，MD为△ADM与△MDN的公共边，即两三角形全等。
同理可得△BMC与△CMN全等。全等三角形面积相等，S△DMN=S△ADM，S△NMC=S△BMC，则S△DMN+S△NMC=S△DMC=S△ADM+S△BMC=1/2（S△DMN+S△NMC+S△ADM+S△BMC）=二分之一S梯形ABCD
（2）由（1）得，△ADM与△MDN全等，则AD=DN，△BMC与△CMN全等，则BC=CN，
所以CD=DN+NC=AD+BC