求解一个线性代数行列式解方程组的问题

行列式解方程组的问题

是不是说的克莱默法则的问题，当方程组满足

1. 方程的个数与方程的未知量的个数相等；
   

2. 系数矩阵的行列式D不等于零

的时候，方程组的解存在并且唯一   x1=D1/D x2=D2/D ,... xn=Dn/D

这里Di 是把系数矩阵的第i列换成右端系数之后求行列式得到的值

【分析】
非齐次线性方程组Ax=b的求解方法：
1、对增广矩阵（A，b）作初等【行】变换，化为阶梯形矩阵
2、求出导出组Ax=0的一个基础解系
3、求方程组的一个特解（为简捷，可令自由变量全为0）
4、按解的结构写出通解
解的结构： ξ（特解）+k1α1+k2α2+...+ksαs（基础解系）
注意：当方程组中含有参数时，分析讨论要严谨不要丢情况。

求出导出组Ax=0的一个基础解系的求解方法：
1、对系数矩阵A做初等【行】变换，化为阶梯形矩阵
2、由秩r（A）确定自由变量个数n-r（A）
3、找出一个秩为r（A）的矩阵，则其余的n-r（A）列对应的就是自由变量
4、每次给一个自由变量赋值为1，其余的自由变量赋值为0（ 注意：赋值需要n-r（A）次）
对阶梯形方程组由下往上一次求解，就可得到。

注意：当对增广矩阵做行变换时，就已经对A做行变换了，不需要再进行一次。

【解答】
对增广矩阵（A，b）作初等【行】变换，化为阶梯形矩阵
1 2 1 5
2 -1 3 7
3 1 1 6 ——————→

1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 2
r（A）= 3 ，所以方程有惟一特解。
x1=1，x2=1，x3=2

注意：本题较为特殊，恰好系数矩阵列满秩，所以此时方程只有惟一特解。就不需要基础解系。
如果r（A）＜3，则需要再进行基础解系的求解。再按解的结构写出即可。

【评注】
如上解法为一般解的过程。
对于n行n个未知数的方程组的一种特殊情况，我们还可以用克莱姆法则求解。
当系数行列式 |A|≠ 0时，【如同本题一样】，方程组有惟一解。
D=|A|，Di为用b替换第i列的新行列式的值。
解为：x1=D1/D ，x2=D2/D，x3=D3/D，......，xn=Dn/D

newmanhero 2015年2月4日22:26:00

希望对你有所帮助，望采纳。