数学专业 数学分析问题

这个问题其实是说不存在收敛的最慢的正项级数，从而说明不存在最为精细的比较判别法。

可这样构造∑bn

由∑a[n]收敛, 对任意正整数k, 存在正整数N(k), 使∑{N(k) ≤ n} a[n] < 1/2^k.
且不妨要求N(k)关于k严格递增(从而趋于无穷).
定义数列c[n]: 当n < N(1)时c[n] = 1, 当N(k) ≤ n < N(k+1)时c[n] = k+1.
取b[n] = a[n]c[n], 则易见lim{n → ∞} a[n]/b[n] = lim{n → ∞} 1/c[n] = 0.
只需证明∑b[n]收敛.

考虑部分和∑{1 ≤ n < N(k)} b[n]
= ∑{1 ≤ n < N(k)} a[n]c[n]
= c[1]·∑{1 ≤ n < N(k)} a[n]+∑{2 ≤ n < N(k)} ((c[n]-c[n-1])·∑{n ≤ m < N(k)} a[m]) (Abel求和)
= ∑{1 ≤ n < N(k)} a[n]+∑{1 ≤ j < k} ∑{N(j) ≤ m < N(k)} a[m] (n = N(j)时c[n]-c[n-1] = 1)
≤ ∑{1 ≤ n} a[n]+∑{1 ≤ j < k} ∑{N(j) ≤ m} a[m]
< ∑{1 ≤ n} a[n]+∑{1 ≤ j < k} 1/2^j
< ∑{1 ≤ n} a[n]+∑{1 ≤ j} 1/2^j
= 1+∑{1 ≤ n} a[n].

对任意部分和∑{1 ≤ n ≤ m} b[n], 总存在k使m < N(k).
于是∑{1 ≤ n ≤ m} b[n] ≤ ∑{1 ≤ n < N(k)} b[n] < 1+∑{1 ≤ n} a[n].
正项级数∑b[n]部分和有界, 故收敛.

这是给“比较判别法”换了种说法吧