高中数学（导数问题）

设函数f(x）=x^2+aln(1+x)有两个极值点x1,x2.且x1＜x2. 1.求a的取值范围，并写出f(x)的单调区间。 2证明：f(x2)＞(1-2ln2)/4.
解：
1.f’(x)=2x+a/(1+x)=0,2x^2+2x+a=0有不等的实根，4-8a>0,a<1/2。
x1=[-1-√(1-2a)]/2,x2=[-1+√(1-2a)]/2,
a≤0时x1≤-1,不在f(x)的定义域内，所以a取值范围是(0,1/2).
-1x2或-10,[x2,+∞)或(-1,x1)是f(x)的增区间;

2.设t=√(1-2a),则0f(x2)=[(t-1)/2]^2+[(1-t^2)/2]ln[(t+1)/2],记为g(t)。
g’(t)=(t-1)/2+(1-t^2)/(t+1)-2tln[(t+1)/2]=(1-t)/2-2tln[(t+1)/2]>0,
∴g(t)>g(0)=1/4+(1/2)ln(1/2)= (1-2ln2)/4,
即f(x2)> (1-2ln2)/4.

http://zhidao.baidu.com/question/145681438.html

关键在第2问a=-2x2(1+x2),把a换掉，x1+x2=-1/2,所以x2大于负二分之一小于0。f（x2)=x2^2-2x2(1+x2)ln(1+x2).令f(x)=x^2-2x(1+x)ln(1+x),f(x)在（-1,0）增，（0，正无穷）减.f(-1/2)=(1-2ln2)/4,因为x2大于负二分之一小于0，所以f(x2)大于f(-1/2)

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