已知数列{an}满足a1=1,an=an+1（1+2an)

[[[1]]]
由题设a1=1,且an=[a(n+1)]×(1+2an)
可得: a1=1, a2=1/3,
且1/[a(n+1)]=[1/(an)]+2 1/(a2)=(1/a1)+2
∴该数列是首项为1,公差为2的等差数列
∴通项1/an=1+2(n-1)=2n-1
∴an=1/(2n-1). n=1,2,3,,,,,
[[[2]]]]
由上面可知,
2(an)×[a(n+1)]=[1/(2n-1)]×[1/(2n+1)]=[1/(2n-1)]-[1/(2n+1)].
分别取n=1,2,3,4,,,,,n
把所得式子累加,可得
2{a1a2+a2a3+...+ana(n+1)]=1-[1/(2n+1)]=(2n)/(2n+1)
∴a1a2+a2a3+...+ana(n+1)=n/(2n+1)＞16/33
∴n＞16
∴n的最小值为17

an=a(n+1)（1+2an)
两边除以an*a(n+1)
1/a(n+1)=(1+2an)/an=1/an+2
｛1/an｝是等差数列

1/an=1+2(n-1)=2n-1
an=1/(2n-1)
an*a(n+1)=1/((2n-1)(2n+1))=1/2(1/(2n-1)-1/(2n+1))
a1a2+a2a3+...+ana(n+1)
=1/2(1-1/3+1/3-1/5+……+1/(2n-1)-1/(2n+1))
=1/2(1-1/(2n+1))
>16/33
1-1/(2n+1)>32/33
1/(2n+1)<1/33
2n+1>33
n>16
n的最小值17

1、
证：
an=a(n+1)(1+2an)
a(n+1)=an/(2an +1)
1/a(n+1)=(2an +1)/an=1/an +2
1/a(n+1)-1/an=2，为定值。
1/a1=1/1=1
数列{1/an}是以1为首项，2为公差的等差数列。
2、
解：
1/an =1+2(n-1)=2n-1
an=1/(2n-1)
ana(n+1)=1/[(2n-1)(2n+1)]=(1/2)[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
a1a2+a2a3+...+ana(n+1)
=(1/2)[1-1/3+1/3-1/5+...+1/(2n-1)-1/(2n+1)]
=(1/2)[1-1/(2n+1)]
=n/(2n+1)>16/33
32n+16<33n
n>16，又n为正整数，n最小为17。