如图：在△ABC中，BC=1，（1）若AD1=1⼀3AB，AE1=1⼀3AC，则D1E1= （2）若D1D2=1⼀3D1B，E1E2=1⼀3E1C，则D2E2=

第一人答案：
（1）：在△ABC和△AD1E1中，共同角A，AD1/AB=AE1/AC=1/3，所以△ABC和△AD1E1相似，所以D1E1/BC=AD1/AB=1/3；
（2）：AD1=1/3AB,D1D2=1/3D1B,所以AD2=5/9AB,同理，AE2=5/9AC, 又因共同角A，所以△ABC和△AD2E2相似,所以D2E2=5/9BC=5/9；
（3）：同理可推，D3E3=19/27；
（4）：同理可推，DnEn=1-（2/3）^n

第二人答案：
（1）
对作△ABC的高，垂足为F，与D1E1交与G，连接D1F与E1F。
对于△AD1F，以AD1作底作△AD1F的高FH，与AD1延长线（就是AB）交与H。可以看出FH同时也是△ABF的高。
因为AD1是AB的1/3，所以△AD1F的面积是△ABF的1/3。
因为AF同时是△AD1F与△ABF的底，所以D1G是BF的1/3。
同理，可以证明E1G是CF的1/3。
所以D1E1是BC的1/3。所以D1E1=1/3a。

（2）
因为D1B=2/3AB，D1D2=1/3D1B，所以D1D2=2/9AB，AD2=5/9AB
同理AE2=5/9AC
证明方法同（1）问，最后得出D2E2=5/9BC=5/9a

（3）
因为D2B=2/3D1B，D2D3=1/3D2B，所以D2D3=2/9D1B=4/27AB，AD3=19/27AB
同理AE3=19/27AC
证明方法同（1）问，最后得出D2E2=5/9BC=15/27a

（4）
ADn+1=AD1+D1D2+...+DnDn+1
=1/3AB+2/3*1/3AB+2/3*2/3*1/3AB+...+(2/3)^n*1/3AB
=[1-(2/3)^(n+1)]AB
同理AEn+1=[1-(2/3)^(n+1)]AC
证明方法同（1）问，最后得出DnDn+1=[1-(2/3)^(n+1)]a

将A换为1即可

答案来自http://zhidao.baidu.com/question/208049167.html
http://zhidao.baidu.com/question/356536063.html
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图那？