设A为3阶方阵， λ1， λ2， λ3是A的三个不同特征值，对应特征向量分别为α1，α2，α3

证明: 由已知, Aα1=λ1α1,Aα2=λ2α2,Aα3=λ3α3,

所以 Aβ=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3

A^2β=A(Aβ)=λ1Aα1+λ2Aα2+λ3Aα3 = λ1^2α1+λ2^2α2+λ3^2α3

所以 (β,Aβ,A^2β)

=(α1+α2+α3,λ1α1+λ2α2+λ3α3,λ1^2α1+λ2^2α2+λ3^2α3)

=(α1,α2,α3)K

其中 K =

1 λ1 λ1^2

1 λ2 λ2^2

1 λ3 λ3^2

由于A的属于不同特征值的特征向量线性无关

所以 α1,α2,α3 线性无关

所以 r(β,Aβ,A^2β)=r(K).

又由于 λ1,λ2,λ3两两不同

所以 |K|=(λ2-λ1)(λ3-λ1)(λ3-λ2)≠0

所以 r(β,Aβ,A^2β)=r(K)=3.

所以 β,Aβ,A^2β 线性无关.

方程

从数学上看，如果向量v与变换A满足Av=λv，则称向量v是变换A的一个特征向量，λ是相应的特征值。这一等式被称作“特征值方程”。

假设它是一个线性变换，那么v可以由其所在向量空间的一组基表示为：其中vi是向量在基向量上的投影（即坐标），这里假设向量空间为n 维。由此，可以直接以坐标向量表示。利用基向量，线性变换也可以用一个简单的矩阵乘法表示。

证明: 由已知, Aα1=λ1α1,Aα2=λ2α2,Aα3=λ3α3,
所以 Aβ=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3
A^2β=A(Aβ)=λ1Aα1+λ2Aα2+λ3Aα3 = λ1^2α1+λ2^2α2+λ3^2α3
所以 (β,Aβ,A^2β)
=(α1+α2+α3,λ1α1+λ2α2+λ3α3,λ1^2α1+λ2^2α2+λ3^2α3)
=(α1,α2,α3)K
其中 K =
1 λ1 λ1^2
1 λ2 λ2^2
1 λ3 λ3^2

由于A的属于不同特征值的特征向量线性无关
所以 α1,α2,α3 线性无关
所以 r(β,Aβ,A^2β)=r(K).
又由于 λ1,λ2,λ3两两不同
所以 |K|=(λ2-λ1)(λ3-λ1)(λ3-λ2)≠0
所以 r(β,Aβ,A^2β)=r(K)=3.
所以 β,Aβ,A^2β 线性无关.

矩阵相乘是满足分配率的，把Aβ 乘进去就是Aα1+Aα2+Aα3然后就是等于
λ1α1+λ2α2+λ3α3
第二条同理

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