柯西极限存在准则的充分性有必要证明吗?????

其实要看怎么用,如果说题目让你证明其定理,那么充分必要等要证
＝》
如果数列(an)收敛，其极限为L，则所有ε > 0，都能找到自然数N，使得|ak − L| < ε/2 ， 所有的k > N。
则，所有的m,n>N，都有：
|am − an| <= |am − L| + |L − an| <ε/2 +ε/2 =ε
所以是柯西数列。

《＝
柯西极限存在准则
柯西极限存在准则又叫柯西审敛原理，给出了数列收敛的充分必要条件。

数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m>N,n>N时就有
|Xn-Xm|<ε

如果只是运用方面,我们都是直接那这个定理直接来用的..所以^^^^^

不过个人建议,这个充分必要都还是熟悉为好...只有熟悉定理如何而来,你就更加明白在什么情况下,你会使用此定理

其实要看怎么用,如果说题目让你证明其定理,那么充分必要等要证
＝》
如果数列(an)收敛，其极限为L，则所有ε
>
0，都能找到自然数N，使得|ak
−
L|
<
ε/2
，
所有的k
>
N。
则，所有的m,n>N，都有：
|am
−
an|
<=
|am
−
L|
+
|L
−
an|
<ε/2
+ε/2
=ε
所以是柯西数列。
《＝
柯西极限存在准则
柯西极限存在准则又叫柯西审敛原理，给出了数列收敛的充分必要条件。
数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m>N,n>N时就有
|Xn-Xm|<ε
如果只是运用方面,我们都是直接那这个定理直接来用的..所以^^^^^
不过个人建议,这个充分必要都还是熟悉为好...只有熟悉定理如何而来,你就更加明白在什么情况下,你会使用此定理

有必要，
可以找本《数学分析》去读。

方法
很多。。。下面用
聚点定理的推论：有界数列
必有收敛子列
来证明有界性这里就不证了，相信你应该会的。对于任意的e>0，都存在n,使得m、n>n时有
|a(n)-a(m)|
n,使得
|aj(k)-a|
=k>n,所以凡是n>n时，我们有
|a(n)-a|<|a(n)-aj(k)|+|aj(k)-a|
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