设向量组α1=（1，0，1）T，α2=（0，1，1）T，α3=（1，3，5）T不能由向量组β1=（1，1，1）T，

（1）由于α1＝(1，0，1)t，α2＝(0，1，1)t，α3＝(1，3，5)t不能由β1＝(1，1，1)t，β2＝(1，2，3)t，β3＝(3，4，a)t线性表出，所以β1，β2，β3线性相关（因为任意n+1个n维向量线性相关，从而β1，β2，β3，αi（i=1，2，3）线性相关，若β1，β2，β3线性无关，则αi可由β1，β2，β3线性表示，从而|β1，β2，β3|=0，而|β1，β2，β3|＝
.
1
1
3
1
2
4
1
3
a
.
＝
.
1
1
3
0
1
1
0
2
a?3
.
＝a?5，故可解得a=5
（2）设（β1，β2，β3）=（α1，α2，α3）a，由于|α1，α2，α3|＝
.
1
0
1
0
1
3
1
1
5
.
＝1≠0，所以α1，α2，α3线性无关．则a＝(α1，α2，α3)?1(β1，β2，β3)
而(α1，α2，α3)?1＝
2
1
?1
3
4
?3
?1
?1
1
，从而a＝
2
1
?1
3
4
?3
?1
?1
1
1
1
3
1
2
4
1
3
5
＝
2
1
5
4
2
10
?1
0
?2
因此β1=2α1+4α2-α3，β2=α1+2α2，β3=5α1+10α2-2α3．

知识点:
n个n维向量线性无关的充要条件是任一n维向量都可由它线性表示
分析:
由题意,β1,β2,β3线性相关,
即有R(β1,β2,β3)<3
解:
由已知,
|β1,β2,β3|=a-5=0
所以
a=5
(α1,α2,α3,β1,β2,β3)=
1
0
1
1
1
3
0
1
3
1
2
4
1
1
5
1
3
5
r3-r1-r2
1
0
1
1
1
3
0
1
3
1
2
4
0
0
1
-1
0
-2
r1-r3,r2-3r3
1
0
0
2
1
5
0
1
0
4
2
10
0
0
1
-1
0
-2
所以
β1=2α1+4α2-α3,
β2=α1+2α2,
β3=5α1+10α2-2α3