【急急急】关于均值不等式的一个证明

第一步：等价变换，分子增加又减去同一项，巧妙处是这一项指数的选取，正好是要证明的右端。
第二步：（1）把前面（a1+a2+...+ak）用上面假设n=k成立时较小的右端乘k代替，（a1+a2+...+ak）/k≥（a1a2...ak）^(1/k),两边乘k：
a1+a2+...+ak≥k（a1a2...ak）^(1/k),
因此≥成立。
（2）难点是a（k+1）+（k-1）（a1a2...a（k+1））^(1/(k+1))≥k[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)
其实也很好证明（k-1）（a1a2...a（k+1））^(1/(k+1)，看成是k-1个数，加上a（k+1），也是k个数。
根据上面假设，n=k时，（a1+a2+...+ak）/k≥（a1a2...ak）^(1/k)是成立的，
注意！！！a1，a2，...，ak只是正数的代表，不限于什么正数，换成k个数：a（k+1），和k-1个（a1a2...a（k+1））^(1/(k+1)，这个不等式也是成立的！代换一下，就成了：
a（k+1）+（k-1）（a1a2...a（k+1））^(1/(k+1))≥k[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)
第三步：
前面两项提取k之后成为：
（a1a2...ak）^(1/k)+[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)
使用前面一开始证明的n=2时的结果，a1+a2≥2√（a1a2）（当成公式，不是当成数）
（a1a2...ak）^(1/k)+[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)
≥2{（a1a2...ak）^(1/k)[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)}^(1/2)
=2{（a1a2...ak）^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/k(k+1)]]}^(1/2)
=2{（a1a2...ak）^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[1/（k+1）-1/k(k+1)]]}^(1/2)
=2{（a1a2...ak）^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[1/（k+1）-1/k+1/(k+1)]]}^(1/2)
=2{（a1a2...aka(k+1)）^(1/k)[(a1a2...a(k+1))^[2/（k+1）-1/k]]}^(1/2)
=2{[(a1a2...a(k+1))^[2/（k+1）-1/k+1/k]]}^(1/2)
=2{[(a1a2...a(k+1))^[2/（k+1）]]}^(1/2)
=2(a1a2...a(k+1))^[1/（k+1）]
然后代入即可。
这里的关机键是，把前面的结果，看成是公式，不是一一对应的符号！

令n=2,(左-右)*2a1a2(a1+a2)
=(a2b1+a1b2)(a1+a2)-2a1a2(b1+b2)
=a1a2b1+a2^2b1+a1^2b2+a1a2b2-2a1a2b1-2a1a2b2
=a1^2b2-a1a2b2+a2^2b1-a1a2b1
=a1b2(a1-a2)-a2b1(a1-a2)
=(a1-a2)(a1b2-a2b1),
当a1>a2>0,b1>0，b2趋于0时上式<0,左<右，命题不成立。