首先，（[G:H], |N|)=1可以推出：
存在整数a,b，使得 a|G|/|H|+b|N|=1
所以a|G|+b|N|*|H|=|H| ……………………（△）
其次，因为N是正规子群，所以NH=HN是G的子群，并且
|NH|=|N||H|/|N∩H| 即 |NH|*|N∩H|=|N|*|H|，所以|NH|整除 |N|*|H|
然后，刚才说了NH是G的子群，所以|NH|整除|G|
所以，有(△)可知：|NH|整除|H|
所以NH=H，从而N是H的子群而且正规
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