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计算对弧长的曲线积分∫y^2ds,其中C为摆线x=a(1-sint),y=a(1-cost)(0≤t≤2π),答案(256⼀15)a^3,要解题过程

2024-12-27 03:06:06

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回答1：

计算对弧长的曲线积分∫y²ds，其中C为摆线x=a(1-sint)，y=a(1-cost)(0≤t≤2π)。
解：C：x=a(1-sint)，y=a(1-cost)；dx/dt=-acost，dy/dt=asint，
[C]∫y²ds=[C]a²∫(1-cost)²√(a²cos²t+a²sin²t)dt=[C]a³∫(1-cost)²dt=[C]a³∫(1-2cost+cos²t)dt
=a³[t+2sint+(1/2)t+(1/4)sin2t]︱[0，2π]=a³[(3/2)t+2sint+(1/4)sin2t]︱[0，2π]=3πa³