已知sinα+cosα=1⼀5,且α∈(0,π)求sin^3 α+cos^3 α

解：（sinα+cosα）²=sin²α+cos²α+2sinαcosα=1+2sinαcosα=（1/5）²=1/25
2sinαcosα=1/25-1=-24/25
sinαcosα=-12/25

sin^3 α+cos^3 α
=（sin α+cos α）（sin²α+cos²α-sinαcosα）
=（1/5）x[1-（-12/25）]
=（1/5）x（1+12/25）
=（1/5）x（37/25）
=37/125

sinα+cosα=1/5
平方得
1+2sinacosa=1/25
2sinacosa=-24/25
sinacosa=-12/25

sin^3 α+cos^3 α
=(sina+cosa)(sin²a-sinacosa+cos²a)
=(1/5)×(1+12/25)
=(1/5)×(37/25)
=37/125

两边平方
sin²a+cos²a+2sinacosa=1/25
1+2sinacosa=1/25
sinacosa=12/25

原式=(sina+cosa)(sin²a-sinacosa+cos²a)
=13/125

sin^3 α+cos^3 α=(sinα+cosα)(sin^2α-sinαcosα+cos^2 α)
=1/5×(1+12/25）
=37/125
（ 2sinαcosα=(sinα+cosα）^2-(sin^2α+cos^2 α) )