在公司和员工建立劳动关系的情况下，一个月之内应当签订书面劳动合同，超过一个月应当每月支付双倍工资，超过一年未签订劳动合同视为签订无固定期限劳动合同。如果公司在没有《劳动合同法》规定的可单方解除合同的情况下解除劳动合同，要面临支付赔偿金的责任，此外因为没有签订劳动合同，可能还要支付这几个月的双倍工资。具体数额以实际发放为准。不过你如果有能够证明通知劳动者签订合同，但劳动者拒绝的证据，双倍工资可能免掉。至于你的个人责任，如果主要是前任的问题，那你跟老板解释清楚就行，如果你也有疏忽，那么挨个批评是可能的，但是从你说的这位员工只做了两个月的情况看，就算赔钱，也不会太多，公司不至于因为这个原因辞退你，否则他也可能为此支付代价。所以，不要太紧张
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