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求解∫(3sinx+2cosx)／(5sinx+4cosx)dx

2024-11-25 09:13:58

推荐回答（2个）

回答1：

这种题目有一个通用的解法
令3sinx+2cosx=A(5sinx+4cosx)+B(5sinx+4cosx)'
整理得
3sinx+2cosx=(5A-4B)sinx+(4A+5B)cosx
即
5A-4B=3
4A+5B=2
解得
A=23/41,B=-2/41
所以
∫(3sinx+2cosx)／(5sinx+4cosx)dx
=∫[23/41(5sinx+4cosx)-2/41(5sinx+4cosx)']／(5sinx+4cosx)dx
=∫[23/41-2/41(5sinx+4cosx)'／(5sinx+4cosx)]dx
=23x/41-2/41ln(5sinx+4cosx)+C

回答2：

运用洛比达法则，很容易的上下同时除以cosx,得到：(3sinx-2cosx)/(5sinx+4cosx)=（3tanx-2）/（5tanx+4）