求幂级数∑(∞ ,n=1)x^n⼀n的收敛半径及收敛域及其和函数

1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+x^4+...

两边积分

∫1/(1-x)dx=x+x^2/2+x^3/3+...

即得：∑(∞ ,n=1)x^n/n=-ln(1-x)

收敛域：|x|<1

扩展资料

幂函数的性质：

一、当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：

1、当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增。

2、当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增。

3、当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。

4、当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。

二、当α为分数时，α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：

1、当α>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增。

2、当α>0，分母为奇数时，若分子为偶数，函数在第一象限内单调递增，在第二象限单调递减；若分子为奇数，函数在第一、三象限各象限内单调递增。

具体回答如下：

根据题意计算：

f=∑(∞,n=1)x^n/n

f'=∑(∞,n=1)x^(n-1)=1/(1-x) |x|

幂级数的意义：

在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。

幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。

由
1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+x^4+...
两边积分
∫1/(1-x)dx=x+x^2/2+x^3/3+...
即得：∑(∞
,n=1)x^n/n=-ln(1-x)
收敛域：|x|<1