高考圆锥曲线中抛物线结论问题

你看图像 左右对称的啊 还是成立的 但是如果换成焦点在Y轴上的 前面3个变一下 最后那个不变

对y²=-2px(p＞0），
可推导出同样的结论：y1y2=-p²，x1x2=p²/4,AB=2p/sin²α，1/FA+1/FB=2/p。

由 y1²=-2px1，y2²=-2px2 有 A(-y1²/2p，y1)、B(-y2²/2p，y2) F(-p/2，0)
AB倾斜角不为90度时，斜率：K(FA)=K(FB)
y1/((-y1²/2p+p/2)=y2/((-y2²/2p+p/2)
整理即得:y1y2=-p²。
AB倾斜角为90度时，x1=x2=-p/2 y1=-y2 y1y2<0
(y1y2)=y1²*y2²=[-2p(-p/2)]*[-2p(-p/2)]=(p²)² 因y1y2<0
所以也有y1y2=-p²

x1x2=(-y1²/2p)*(-y2²/2p)=(y1y2)²/4P²=(-p2)²/4P²=p²/4
即：x1x2=p²/4

为证明方便，设A在x轴上方，则B在x轴下方。
于是有：
cosα=(x1-x2)/AB=[(-y1²/2p)-(-y2²/2p)]/AB=-(y1+y2)(y1-y2)/2pAB=-(y1+y2)sinα/2p
sinα>0 y1+y2=-2pcosα/sinα
sin²α=(y1-y2)²/AB²=[(y1+y2)²-4y1y2]/AB²
=[(-2pcosα/sinα)²-4(-p²)]/AB²
=4p²/sin²αAB²
于是AB=2p/sin²α

sinα=Ιy1Ι/FA sinα=Ιy2Ι/FB 即FA=Ιy1Ι/sinα FB=Ιy2Ι/sinα
FA*FB=Ιy1y2Ι/sin²α = Ι-p²Ι/sin²α =p²/sin²α
1/FA+1/FB=(FB+FA)/FAFB=AB/FAFB=(2p/sin²α)/(p²/sin²α)=2/p