级数n⼀2^n求和多少，n从1-∞

设S(x)=∑nx^n。∴原式=S(1/2)。

而，S(x)=∑nx^n=x∑nx^(n-1)。又，当丨x丨<1时，∑nx^(n-1)=[∑x^n]'=[x/(1-x)]'=1/(1-x)²，
∴丨x丨<1时，S(x)=∑nx^n=x/(1-x)²。

∴原式=S(1/2)=2。

扩展资料

一类重要的函数级数是形如∑an(x-x0)^n的级数，称之为幂级数。它的结构简单 ，收敛域是一个以为中心的区间（不一定包括端点），并且在一定范围内具有类似多项式的性质，在收敛区间内能进行逐项微分和逐项积分等运算。

例如幂级数∑(2x)^n/x的收敛区间是[-1/2,1/2]，幂级数∑[(x-21)^n]/(n^2)的收敛区间是[1，3]，而幂级数∑(x^n)/(n!)在实数轴上收敛。

级数的收敛问题是级数理论的基本问题。从级数的收敛概念可知，级数的敛散性是借助于其部分和数列Sm的敛散性来定义的。

因此可从数列收敛的柯西准则得出级数收敛的柯西准则 ：∑un收敛<=>任意给定正数ε，必有自然数N，当n>N，对一切自然数 p，有|u[n+1]+u[n+2]+…+u[n+p]|<ε，即充分靠后的任意一段和的绝对值可任意小。

简单计算一下即可，答案如图所示

分享一种解法，借助级数求和求解。设S(x)=∑nx^n。∴原式=S(1/2)。
而，S(x)=∑nx^n=x∑nx^(n-1)。又，当丨x丨<1时，∑nx^(n-1)=[∑x^n]'=[x/(1-x)]'=1/(1-x)²，
∴丨x丨<1时，S(x)=∑nx^n=x/(1-x)²。∴原式=S(1/2)=2。
供参考。