你的题目貌似写错了，如果说级数是Σ(n从1到∞)(2^n)(tanπ/3^n)，那级数的和就等于零，因为tanπ不是无穷小量，tanπ=0，因此无论多少个零相加，其和依然为0；如果说级数是Σ(n从1到∞)(2^n)tan(π/3^n)，对于足够大的N，Σ(n从1到N)(2^n)tan(π/3^n)=常量，在N足够大时，tan(π/3^n)=π/3^n,从而Σ(n从N+1到∞)(2^n)tan(π/3^n)=Σ(n从N+1到∞)(2^n)*π/3^n=2^(N+1)*π/3^N<另一常量，因此Σ(n从1到∞)(2^n)(tanπ/3^n)上有界，又通项为正，即满足单增且有上界，故该级数收敛，证毕。
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