一道利用高斯公式求解第二类曲面积分的题目

解：令P=2x，Q=yz，R=-z²
∵αP/αx=2，αQ/αy=z，αR/αz=-2z
∴根据高斯公式得
原式=∫∫∫(αP/αx+αQ/αy+αR/αz)dxdydz (V是S围城的空间区域)
=∫∫∫(2-z)dxdydz
=∫<0,2π>dθ∫<0,1>rdr∫(2-z)dz (应用柱面坐标变换)
=2π∫<0,1>[2r√(2-r²)-r-2r²+r³]dr
=2π[(-2/3)(2-r²)^(3/2)-r²/2-(2/3)r³+r^4/4]│<0,1>
=2π(-1/2-2/3+1/4+2/3)
=-π/2。

解：令P=2x，Q=yz，R=-z²
∵αP/αx=2，αQ/αy=z，αR/αz=-2z
∴根据高斯公式得
原式=∫∫∫
(αP/αx+αQ/αy+αR/αz)dxdydz
(V是S围城的空间区域)
=∫∫∫
(2-z)dxdydz
=∫<0,2π>dθ∫<0,1>rdr∫
(2-z)dz
(应用柱面坐标变换)
=2π∫<0,1>[2r√(2-r²)-r-2r²+r³]dr
=2π[(-2/3)(2-r²)^(3/2)-r²/2-(2/3)r³+r^4/4]│<0,1>
=2π(-1/2-2/3+1/4+2/3)
=-π/2。