用反证法，证明根号2是无理数

假设根号2为有理数,那么存在两个互质的正整数p,q,使得:
根号2=p/q
于是
p=(根号2)q
两边平方得
p^2=2q^2(“^”是几次方的意思）
由2q^2是偶数，可得p^2是偶数。而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数。
因此可设p=2s,代入上式，得：
4s^2=2q^2,
即
q^2=2s^2.
所以q也是偶数。这样，p,q都是偶数，不互质，这与假设p,q互质矛盾。
这个矛盾说明，根号2不能写成分数的形式，即根号2不是有理数。

如果是有理数，刚可以表示为a/b（a，b均为整数且互质）
则a^2=2b^2
因为2b^2是偶数，所以a＾2是偶数,所以a是偶数
设a=2c
则4c^2＝2b^2
b^2=2c^2
所以b也是偶数
这和a,b互质矛盾。
所以，根号2是无理数。
－－－－－－－－－－－
速度啊，最好给红旗~

若根号2是有理数，
有理数即是分数，即它可以表示为不可约的（即互质的）两个整数之比，
设√2＝m/n（m、n为不为零的整数，m、n互质）
所以
（m/n）^2=2
所以
m^2/n^2=2
所以
m^2=2*n^2
所以
m^2是偶数，设m=2k（k是整数）
所以
m^2=4k^2=2n^2
所以
n^2=2k^2
所以
n是偶数
因为
m、n互质
所以
矛盾
所以
根号2不是有理数，它是无理数

这是一道很经典的证明
假设根号2是有理数，可以写作分数p/q，其中p和q经过约分已经是互质数
那么(p/q)^2=2,p^2=2q^2,p^2是偶数，p也应该是偶数。
把p写作2r，那么(2r)^2=2q^2,q^2=2r^2，q^2是偶数，q也是偶数。
p和q都证明出来是偶数，和互质数的假设矛盾，所以根号2是无理数

要证一个数是有列数，常证它能表示成几个有理数的和差积商形式，要证它是无理数，就假设它是有理数，设法推出矛盾。
设根号2是有理数
根号2=m/n
mn为互质整数
则
2=m方/n方
m方=2m方
即m方是偶数,m为偶数
m为偶数,则m方为4的倍数
则n方为偶数,n为偶数
则mn不互质
与假设矛盾
所以:根号2是无理数