求线性方程组﹛x1+2x2-x3+2x4=1;2x1+4x2+x3+x4=5;-x1-2x2-2x3+x4=-4

解：把原方程组的系数增广矩阵作初等变换，得

1 2 -1 2 1 （行：No2 - 2×No2） 1 2 -1 2 1 （行渗磨：No3 + No2）

2 4 1 1 5 — — — — — — — — ＞ 0 0 3 -3 3 — — — — — — — — ＞

-1 -2 -2 1 -4 （行：No3 + No2） 0 0 -3 3 -3 （行：No2 ×(1/3)）

1 2 -1 2 1 1 2 0 1 2

0 0 1 -1 1 — — — — — — — — ＞ 0 0 1 -1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

∴x2和x4是自由变量，原方程组等价于

x1 = - 2*x2 - x4 + 2

x3 = x4 + 1

x2 1 x2 0

令 向量v1 = x4 = 0 ， 向量v1 = x4 = 1

代入解得，原方程组的一个基础解系为

x1 {0} {1}

v = v1+v2 = x2 = {1} + {0}

x3 {1} {2}

x4 {0} {1}

∴原方程组的全部解为

x1 {0} {1}

v = c1*v1+c2*v2 = x2 = c1*{1} + c2*{0}

x3 {1} {2}

x4 {0} {1}

其中，c1、c2为任意实数

扩展资料：

线性方程组主要的解法

1、克莱姆法则

用克莱姆法则求解方程组 有两个前提，一是方程的个数要等于未知量的个数，二是系数矩阵的行列式要不等于零。

用克莱姆法则扮如求解方程组实际上相当于用逆矩阵的方法求解线性方程组，它建立线性方程组的解与其系数和常数间的关系，但由厅喊启于求解时要计算n+1个n阶行列式，其工作量常常很大，所以克莱姆法则常用于理论证明，很少用于具体求解。

2、矩阵消元法

将线性方程组的增广矩阵通过行的初等变换化为行简化阶梯形矩阵 ，则以行简化阶梯形矩阵为增广矩阵的线性方程组与原方程组同解。当方程组有解时，将其中单位列向量对应的未知量取为非自由未知量，其余的未知量取为自由未知量，即可找出线性方程组的解。

参考资料：百度百科-线性方程组

解：把原方程组的系数增广矩阵作初等变换，得
1 2 -1 2 1 （行：No2 - 2×No2） 1 2 -1 2 1 （行：No3 + No2）
2 4 1 1 5 — — — — — — — — ＞ 0 0 3 -3 3 — — — — — —轮前 — — ＞
-1 -2 -2 1 -4 （行：No3 + No2） 0 0 -3 3 -3 （行：No2 ×(1/3)）

1 2 -1 2 1 1 2 0 1 2
0 0 1 -1 1 —枣桐此 — — — — — — — ＞ 0 0 1 -1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

∴x2和x4是自由变量，原方程组等价于
x1 = - 2*x2 - x4 + 2
x3 = x4 + 1

x2 1 x2 0
令 向量v1 = x4 = 0 ， 向量v1 = x4 = 1

代入解得，原方程组的一个基础解系为
x1 {0} {1}
v = v1+v2 = x2 = {1} + {0}
x3 {1} {2}
x4 {0} {1}

∴原方程组的全部解为
x1 {0} {1}
v = c1*v1+c2*v2 = x2 = c1*{1} + c2*{0}
x3 {1} {2}
x4 {0} {1}
其中，c1、c2为任意实数凳迅

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