设a>0,x1>0,xn+1=1⼀4(3xn+a⼀xn3),n=1,2……,试求n趋于无穷时xn的极限是多少？

由于1/4(3xn+a/xn^3)=1/4(xn+xn+xn+a/xn^3)>=四次根号(a)，因此不妨设x1大于等于四次根号(a)=b。

当x1>=b时，易知x2=1/4(3x1+a/x1^3)=x1--1/4(x1--a/x1^3)<=x1。用数学归纳法可以证明

xn是递减的有下界b的数列，因此有极限，设极限是x，则在递推关系式中令n趋于无穷，得

x=1/4(3x+a/x^3)，解得x=b=四次根号(a)。

N的相应性　

一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

由于1/4(3xn+a/xn^3)=1/4(xn+xn+xn+a/xn^3)>=四次根号(a)，因此不妨设x1大于等于四次根号(a)=b。
当x1>=b时，易知x2=1/4(3x1+a/x1^3)=x1--1/4(x1--a/x1^3)<=x1。用数学归纳法可以证明
xn是递减的有下界b的数列，因此有极限，设极限是x，则在递推关系式中令n趋于无穷，得
x=1/4(3x+a/x^3)，解得x=b=四次根号(a)。