函数极限的定义应该如何理解？比如设f(x)=x대，当x→0时，如何用函数极限的定义证明f(x)→1是错误的？

参考一下我这两个回答吧，楼主应该会明白
http://zhidao.baidu.com/question/328730990.html?an=0&si=2
http://zhidao.baidu.com/question/358724300.html?an=0&si=3

只要理解了极限定义正向很容易证明。极限定义说白了就是“要多接近就有多接近”。那个ε就是“你要的接近程度”，根据ε找出δ就说明它“有你要的那么接近”。
不过反过来证明某个的极限不是XXX是一件比较难的事。一般大学不是数学专业的学生应该不会要求证明不是极限，这个思维性很强但是用处不大。
不过我可以简单说一下。既然极限定义是任给一个ε>0，都能存在δ>0使得|x-x0|<δ的时候|A-f(x)|<ε，那么如果一个函数在x趋近x0不是以A为极限，就要对上述定义进行否定。怎么否定呢？首先要否定“任给ε”这个任意性，任意性是个全体概念，否定全体都成立这种形式的命题只需要否定其中一个就可以。好比否定“所有男生都吸烟”这个命题，只要说成“不是所有男生都吸烟”，也就是“至少有一个男生不吸烟”就可以了。那么我们就说至少存在一个ε，使得找不到一个δ满足……
“找不到一个”这种语言数学上无法操作，应该转化为“对任何一个δ>0，都不能有|x-x0|<δ的时候|A-f(x)|<ε”。所以证明方法就如一楼所说，找一个ε，然后去证对于这个ε所有δ>0都不行。

很显然，任意给定的一个正数，我们取0.5，显然我可以找到|x| < 0.5,使得|x^3-1|>0.5,那么肯定不存在一个数r，使得|x-0|只要找到一个，就证明极限不是了