设双曲线X^2⼀A^2-Y^2⼀B^2=1(B>A>0)的半焦距为C

直线L过(A,0),(0,B), 斜率k=B/(-A)
直线就是 y=[B/(-A)]X+B
点到直线的距离公式是，假设点是x1,y1
那么距离D=|Ax1+By1+C|/√(A^2+B^2) 这里的ABC是指：AX+BY+C=0
带入即可求出E=2

1. 两点式
x/a+y/b=1
bx+ay-ab=0
已知原点到直线的距离
d=|ab|/√(a^2+b^2)=ab/c=根号3C/4
4ab=根号3c^2
16a^2(c^2-a^2)=3c^4
3c^4-16a^2c^2+16a^4=0 除以a^4
3e^4-16e^2+16=0
(3e^2-4)(e^2-4)=0
3e^2-4=0 e^2=4/3
e^2-4=0 e=2
b>a c^2=a^2+b^2>2a^2 e^2>2
所以 e=2

解：∵直线l过（a，0），（0，b）两点，
∴直线l的方程为：x/a+y/b=1，
即 bx+ay-ab=0，
∵原点到直线l的距离为c√3/4，
∴|ab|/√(a^2+b^2)=c√3/4
又c^2=a^2+b^2，
∴3e^4-16e^2+16=0，
∴e^2=4或4/3，
∵b＞a＞0，
∴取e^2=4
∴离心率为2；
故答案为2．

过(A,0),(0,B)的直线截距式
x/A+y/B=1
原点到直线的距离平方为
1/[(1/A)^2+(1/B)^2]=3C^2/16
化简得
A^2B^2/(A^2+B^2)=3C^2/16
再将B^2=C^2-A^2代入，两边再同除以A^2
得到
(e^2-1)/e^2=3e^2/16
解出e=2(因为e>1)

直线L用截距式x/A+y/B=1
化为一般式Bx+Ay-AB=0
根号3C/4=AB/C(点到直线的距离公式)
两边同时平方
3c^4=16A^2(C^2-A^2)
整理的
3C^4-16A^2C^2+16A^4=0
(十字相乘法)
C^2=4A^2或3C^2=4a^2
e^2=4或4/3
但是B^2>A^2
C^2-A^2>A^2
e^2>2
所以e^2=4,
e=2
太难打啦