神州中考数学试卷答案

2011年神州中考数学试题
一、 精心选一选：本大题共8小题，每每小题4分，共32分。
1. 的相反数是（ ）
A． B． C． 2011 D．
2. 下列运算哪种，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3. 已知点P（ ）在平面直角坐标系的第一象限内，则a的取值范围在数轴上可表示为（ ）

4. 在平行四边形、等边三角形、菱形、等腰梯形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． 平行四边形 B． 等边三角形 C．菱形 D．等腰梯形

5 . 抛物线 可以看作是由抛物线 按下列何种变换得到（ ）
A． 向上平移5个单位 B． 向下平移5个单位 C． 向左平移5个单位 D． 向右平移5个单位

6. 如图所示的是某几何体的三视图，则该几何体的形状是（ ）
A． 长方体 B．三棱柱 C．圆锥 D．正方体
7. 等腰三角形的两条边长分别为3,6，那么它的周长为（ ）
A．15 B．12 C．12或15 D．不能确定
8. 如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为（ ）
A． B． C． D．

二、 细心填一填：本大题共8小题，每小题4分，共32分）
9. 一天有86400秒，用科学记数法表示为____________ 秒；
10．数据 的平均数是1，则这组数据的中位数是_________。
11. ⊙ 和⊙ 的半径分别为3㎝和4㎝，若⊙ 和⊙ 相外切，则圆心距 =_________cm。
12. 若一个正多边形的一个外角等于40°，则这个多边形是_________边形。
13. 在围棋盒中有6颗黑色棋子和a颗白色棋子，随机地取出一颗棋子，如果它是黑色棋子的概率是 ，则a=________。
14. 如图，线段AB、DC分别表示甲、乙两座楼房的高，AB⊥BC， DC⊥BC，两建筑物间距离BC=30米，若甲建筑物高AB=28米，在点A测得D点的仰角α=45°，则乙建筑物高DC=_______米。
15. 如图，一束光线从点A（3, 3）出发，经过y轴上的点C反射后经过点B（1, 0） ，则光线从A到B点经过的路线长是_______
16. 已知函数 ，其中 表示当 时对应的函数值，如 ，
则 =_______。
三．耐心填一填：本大题共9小题，共86分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分8分）
计算：
18．（本小题满分8分）
化简求值： ，其中 。
19. (本小题满分8分)
如图．在△ABC中．D是AB的中点．E是CD的中点．
过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F．连接BF。
（1）(4分)求证：DB=CF；
（2）(4分)如果AC=BC．试判断四边彤BDCF的形状．
并证明你的结论。
20．(本小题满分8分)
“国际无烟日”来临之际．小敏同学就一批公众对在餐厅吸烟所持的三种态度(彻底禁烟、建立吸烟室、其他)进行了调查．并把调查结果绘制成如图1、2的统计图．请根据下面图中的信息回答下列问题：

（1）(2分)被调查者中，不吸烟者中赞成彻底禁烟的人数有____________人：
（2）(2分)本次抽样凋查的样本容量为____________
（3 ）(2分)被调查者中．希望建立吸烟室的人数有____________；
（4）(2分)某市现有人口约300万人，根据图中的信息估计赞成在餐厅沏底禁烟的人数约有____________万人．
21. (本小题满分8 分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分别为AB、BC上的点．经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F，且D为 的中点．
（1）(4分)求证：BC与⊙O相切；
（2）(4分)当AD= ；∠CAD=30°时．求 的长，

22．(本小题满分10分)
如图，将—矩形OABC放在直角坐际系中，O为坐标原点．点A在x轴正半轴上．点E是边AB上的—个动点(不与点A、N重合)，过点E的反比例函数 的图象与边BC交于点F。
（1）(4分)若△OAE、△OCF的而积分别为 ．且 ，汆k的值：
（2）(6分) 若OA=2．0C=4．问当点E运动到什么位置时．
四边形OAEF的面积最大．其最大值为多少?

23. (本小题满分I0分)
某高科技公司根据市场需求，计划生产A、B两种型号的医疗器械，其部分信息如下：
信息一：A、B两种型号的医疔器械共生产80台．
信息二：该公司所筹生产医疗器械资金不少于1800万元，但不超过1810万元．且把所筹资金全部用于生产此两种医疗器械．
信息三：A、B两种医疗器械的生产成本和售价如下表：
型号 A B
成本（万元/ 台） 20 25
售价（万元/ 台） 24 30

根据上述信息．解答下列问题：
（1）（6分）该公司对此两种医疗器械有哪-几种生产方案？哪种生产方案能获得最大利润？
（2）（4分）根据市场调查，-每台A型医疗器械的售价将会提高 万元（ ）．
每台A型医疗器械的售价不会改变．该公司应该如何生产可以获得最大利润？
(注：利润=售价 成本)
24．(本小题满分12分)
已知抛物线 的对称轴为直线 ，且与x轴交于A、B两点．与y轴交于点C．其中AI(1，0)，C(0， )．
（1）（3分）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）．
①（4分）如图l．当△PBC面积与△ABC面积相等时．求 点P的坐标；
②（5分）如图2．当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式。

25.(本小题满分14分)
已知菱形ABCD的边长为1．∠A DC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。
（1）（4分）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；
（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．
①（4分）猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；
②（6分）拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断 是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由。

2011年莆田市初中毕业、升学考试试卷
数学参考答案及评分标准

一、精心选一选
1．C 2．D 3．A 4．C 5．B 6，B 7．A 8．C
二、耐心填—填
9． I0．1 1I．7 12，9 13．4 14，58 15，5 16．5151
三，耐心填一填
17．解：原式=4
18. 原式= ， 当 时，原式=18
19. （1）证明略 （2）四边形BDCF是矩形。证明略。
20. （1）证明：连接OD，则OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA
∵D为 的中点
∴∠OAD=∠CAD
∴∠ODA=∠CAD
∴OD∥AC
又∵∠C=90°，∴∠ODC=90°，即BC⊥OD
∴BC与⊙O相切。
（2）连接DE，则∠ADE=90°
∵∠OAD=∠ODA=∠CAD=30°，∴∠AOD=120°
在Rt△ADE中，易求AE=4，
∴⊙O的半径r=2
∴ 的长 。
22. 解：（1）∵点E、F在函数 的图象上，
∴设 ，
∴ ，
∵ ，∴ ， 。
（2）∵四边形OABC为矩形，OA=2，OC=4，
设 ，
∴BE= ，BF=
∴
∵ ，
∴
=
∴当 时， ，∴AE=2.
当点E运动到AB的中点时，四边形OA EF的面积最大，最大值是5.
23.解：（1）设该公司生产A钟中医疗器械x台，则生产B钟中医疗器械（ ）台，依题意得

解得 ，
取整数得
∴该公司有3钟生产方案：
方案一：生产A钟器械38台，B钟器械42台。
方案二：生产A钟器械39台，B钟器械41台。
方案一：生产A钟器械40台，B钟器械40台。
公司获得利润：
当 时， 有最大值。
∴当生产A钟器械38台，B钟器械42台时获得最大利润。
（2）依题 意得，
当 ，即 时，生产A钟器械40台，B钟器械40台，获得最大利润。
当 ，即 时，（1）中三种方案利润都为400万元；
当 ，即 时，生产A钟器械38台，B钟器械42台，获得最大利润。
24. 解：（1）由题意，得 ，解得
∴抛物线的解析式为 。
（2）①令 ，解得 ∴B（3, 0）
当点P在x轴上方时，如图1，
过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P，
易求直线BC的解析式为 ，
∴设直线AP的解析式为 ，
∵直线AP过点A（1,0），代入求得 。
∴直线AP的解析式为
解方程组 ，得
∴点
当点P在x轴下方时，如图1
设直线 交y轴于点 ，
把直线BC向下平移2个单位，交抛物线于点 ，
得直线 的解析式为 ，
解方程组 ，得

∴
综上所述，点P的坐标为： ，
②∵
∴OB=OC，∴∠ OCB=∠OBC=45°
设直线CP的解析式为
如图2，延长CP交x轴于点Q，
设∠OCA=α，则∠ACB=45° α
∵∠PCB=∠BCA ∴∠PCB=45° α
∴∠OQC=∠OBC-∠PCB=45°-（45° α）=α
∴∠OCA=∠OQC
又∵∠AOC=∠COQ=90°
∴Rt△AOC∽Rt△COQ
∴ ，∴ ，∴OQ=9，∴
∵直线CP过点 ，∴
∴
∴直线CP的解析式为 。
其它方法略。

25．解：（1）证明：如图I，分别连接OE、0F
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AO=DC=BC
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．
∠ADO= ∠ADC= ×60°=30°
又∵E、F分别为DC、CB中点
∴OE= CD，OF= BC，AO= AD
∴0E=OF=OA ∴点O即为△AEF的外心。
（2）①猜想：外心P一定落在直线DB上。
证明：如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，P J⊥AD于J
∴∠PIE=∠PJD=90°，∵∠ADC=60°
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°
∵点P是等边△AEF的外心，∴∠EPA=120°，PE=PA，
∴∠IPJ=∠EPA，∴∠IPE=∠JPA
∴△PIE≌△PJA， ∴PI=PJ
∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上。
② 为定值2.
当AE⊥DC时．△AEF面积最小，
此时点E、F分别为DC、CB中点．
连接BD、AC交于点P，由（1）
可得点P即为△AEF的外心
解法一：如图3．设MN交BC于点G
设DM=x，DN=y(x≠0．y≠O)，则 CN=
∵BC∥DA ∴△GBP∽△MDP．∴BG=DM=x．
∴
∵BC∥DA，∴△GBP∽△NDM
∴ ，∴
∴
∴ ，即
其它解法略。