怎么证明对称矩阵的所有特征值全是实数

解题过程如下图：

对称矩阵中的元素关于主对角线对称，故只要存储矩阵中上三角或下三角中的元素，让每两个对称的元素共享一个存储空间。这样，能节约近一半的存储空间。

扩展资料

基本性质

1.对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。

2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。

3.对角矩阵都是对称矩阵。

4.两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。

你好！应当是实对称阵的特征值都是实数，可以如图证明。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

证明：设A是n阶实对称矩阵，r是矩阵A在复数域上的任一特征值
则属于r的特征向量为α=(a1,a2,...,an)T，（T表示转置）
即Aα=rα，(α≠0)
上式两边取共轭复数（这里A的共轭用A'来表示），得：
(Aα)'=(rα)'
A'α'=r'α'
Aα'=r'α'
对上式两边取复数转置，得：
(Aα')T=(r'α')T
(α'T)(AT)=r'(α'T)
(α'T)A=r'(α'T)
上式两边右乘α，得：
(α'T)(Aα)=r'(α'T)(α)
(α'T)(rα)=r'(α'T)(α)
(r-r')(α'T)α=0
因为(α'T)α=||α||²>0
所以r=r'，即r是实数
由r的任意性，实对称矩阵A的特征值都是实数。
对称矩阵（Symmetric Matrices）是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵。1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901年)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(A.Clebsch,1831-1872年)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。