1^2+2^2+3^2+......+2001^2+2002^2除以7的余数是多少?

1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6这是公式，竞赛你得记住
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6这是证明方法

所以代入得2002*2003*4005=1001*2003*1335
1001*2003*1335/7=143*2003*1335

(7k+1)²除以7的余数为1
(7k+2)²除以7的余数同2²除以7的余数为4
(7k+3)²除以7的余数同3²除以7的余数为2
(7k+4)²除以7的余数同4²除以7的余数为2
(7k+5)²除以7的余数同5²除以7的余数为4
(7k+6)²除以7的余数同6²除以7的余数，为1
(7k+7)²除以7的余数为0
所以
连续7项的和除以7的余数同 （1+4+2+2+4+1+0）=14除以7的余数，为0
2002=7*286
所以 1^2+2^2+3^2+......+2001^2+2002^2除以7的余数为0