解答：
f(x)=-x2+2ax+1(a∈R)＝-(x-a)^2+a^+1.
对称轴是x＝a。
若a＜0，则m(a)=f(2)=4a-3,
若0≤a＜1，则m(a)=f(2)=4a-3，
若1≤a＜2，则m(a)=f(0)=1，
若a≥2，则m(a)=f(0)=1
综上得，m(a)＝
1，a≥1，
4a-3，a＜1
显然，当a＜1时4a-3＜1，
所以m(a)的最大值是1。
由函数图象可知，F（x）开口向上，故最小值m只可能在x＝0，2．或－a处取得，可分a＞0，0＞＝a＞－2，a＝＜－2三种情况讨论 a＞0时最小值m的最大值为1；0＞＝a＞－2时最小值m的最大值为1；a＝＜－2时m值为－3． 故m最大值为1．
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