函数定义域与函数其他性质

对于函数的性质应从以下几个方面来考虑：
（1）定义域，值域
（2）单调性
（3）奇偶性
（4）最值
（5）具体函数的特殊性质

函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 的形式；
②逆求法（反求法）：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围；常用来解，型如： ；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域；
⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

1． 函数的一些概念：
函数、自变量、应变量、定义域、值域
注：ⅰ对应的y是唯一的
ⅱ函数三大要素：定义域、对应法则、值域
ⅲ函数相同即定义域、对应法则相同
ⅳ换元后定义域要相应改变
ⅴ实际问题中函数的定义域要根据实际情况决定
2．函数间运算：和函数、积函数
注：定义域取两函数各自定义域的交集
3．函数表示方法：解析法（待定系数）、图像法（数形结合）、列表法
4．函数的奇偶性：定义域内任意实数x
注：ⅰ定义域关于原点对称是函数为奇、偶函数的必要条件
ⅱ偶函数没有反函数
ⅲ定义在R或[-a,a]、[-a,a]上的奇函数必过原点，即f(0)=0
ⅳ偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点中心对称
ⅴ奇+奇=奇 偶+偶=偶 偶+奇=不定
奇*奇=偶 偶*偶=偶 偶*奇=奇
5．函数的单调性：给定区间的任意两个值x1、x2
注：ⅰ利用定义证明函数单调性
ⅱ增+增=增 增*增=增 减+减=减 减*减=减
6．函数的周期性：T≠0
注：一个周期函数不一定有最小正周期，例如：f（x）=0
7．函数的最值：定义域内任意实数x
注：求函数最值的一般步骤
①求函数边界点
②求函数极值点
③若极值点在边界点内，极值点就是最值
④若极值点取不到，边界点就是最值（最大、最小要用单调性判断）
8．反函数：
注：ⅰ反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域（利用反函数求值域）
ⅱ原函数的增减与反函数相同
ⅲ原函数与反函数关于y＝x对称
ⅳ证明f(x)关于y＝x对称，即证f(x)的反函数f－1(x)是原函数f(x)，反之亦然
9．函数的零点：
f(x)（x∈D），存在c（c∈D），当x＝c时，f(c)＝0，则x＝c是函数的零点
10．掌握一次函数性质及图像
11．掌握二次函数性质及图像
注：ⅰ二次项系数不为零
ⅱ三种解析形式： 一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a、b、c∈R）
顶点式：y＝a（x－m）2＋k（a≠0，（m，k）是顶点）
零点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0，x1、x2是图像在
x轴上两焦点）
12．掌握幂函数性质及图像：y＝xα（α是常数，x∈R）
注：y＝x^(q／p)各个图像你自己画一画吧
①q／p＞0
p、q均是奇数 （q／p＞1、 q／p＜1）

p偶，q奇（q／p＞1 、q／p＜1）

p奇，q偶（q／p＞1、 q／p＜1）
②q／p＜0
p、q均是奇数
p偶，q奇
p奇，q偶
③q／p＝0
13．掌握指数函数的性质和图像：y=ax (x∈R, a>0,a≠1)
14. 掌握对数函数的性质和图像：y=㏒ax (x>0, a>0,a≠1)
15．解参数方程（分类讨论）
16．函数与其他知识的综合运用