230问答网 > 设α、β为锐角，α+β=120°,问y=cos^2α+cos^2β是否存在最大值和最小值？如果存在，请求出;

设α、β为锐角，α+β=120°,问y=cos^2α+cos^2β是否存在最大值和最小值？如果存在，请求出;

2024-12-14 00:58:52

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回答1：

∵α＋β＝120°，∴2α＋2β＝240°，∴2β＝240°－2α。
又y＝（cosα）^2＋（cosβ）^2，
∴2y＝2（cosα）^2－1＋1＋2（cosβ）^2－1＋1＝cos2α＋cos2β＋2，
＝cos2α＋cos（240°－2α）＋2＝cos2α－sin（30°＋2α）＋2
＝cos2α－sin30°cos2α－cos30°sin2α＋2＝sin30°2α－cos30°sin2α＋2＝sin（30°－2α）＋2
＝2－sin（2α－30°）

∵0°＜α＜90°，∴0°＜2α＜180°，∴－30°＜2α－30°＜150°，∴－1/2＜sin（2α－30°）≦1，
∴－1≦－sin（2α－30°）＜1/2，∴1≦2－sin（2α－30°）＜3/2，∴1≦2y＜3/2，
∴1/2≦y＜3/4。
∴函数有最小值为1/2，没有最大值。