如何在小学数学教学中指导学生画图

1、平面图

对于题目中条件比较抽象、不易直接根据所学知识写出答案的问题，可以借助画平面图帮助思考解题。

如，有两个自然数A和B，如果把A增加12，B不变，积就增加72；如果A不变，B增加12，积就增加120，求原来两数的积。

根据题目的条件比较抽象的特点，不妨借用长方形图，把条件转化为因数与积的关系。先画一个长方形，长表示A，宽表示B，这个长方形的面积就是原来两数的积。如图（l）所示。

根据条件把A增加12，则长延长12，B不变即宽不变，如图（2）；同样A不变即长不变，B增加12，则宽延长12，如图（3）。

从图中不难找出：

原长方形的长（A）是120÷12＝10

原长方形的宽（B）是72÷12＝6

则两数的积为10×6＝60

借助长方形图，弄清了题中的条件，找到了解题的关键。

再如，一个梯形下底是上底的1.5倍，上底延长4厘米后，这个梯形就变成一个面积为60平方厘米的平行四边形。求原来梯形面积是多少平方厘米？

根据题意画平面图：

从图中可以看出：上、下底的差是4厘米，而这4厘米对应的正好是1.5－l＝0.5倍。

所以上底是4÷（1.5－1）＝8（厘米），下底是8×1.5＝12（厘米），高是60÷12＝5（厘米），则原梯形的面积是（8＋12）×5÷2＝50（平方厘米）。

2、立体图

一些求积题，结合题目的内容画出立体图，这样做，使题目的内容直观、形象，有利于思考解题。

如，把一个正方体切成两个长方体，表面积就增加了8平方米。原来正方体的表面积是多少平方米？

如果只凭想象，做起来比较困难。按照题意画图，可以帮助我们思考，找出解决问题的方法来。按题意画立体图：

从图中不难看出，表面积增加了8平方米，实际上是增加 2个正方形的面，每个面的面积是8÷2＝4（平方米）。

原正方体是6个面，即表面积为4×6＝24（平方米）。

再如，用3个长3厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体，拼成一个大长方体。这个大长方体的表面积是多少？

按题意画立体图来表示，三个长方体拼成的大长方体有以下三种情况：

（l）拼成长方体的长是2×3＝6（厘米），宽3厘米，高1厘米。表面积为（6×3＋6×1＋3×1）×2＝54（平方厘米）。

（2）拼成长方体的长是3×3＝9（厘米），宽2厘米，高1厘米。表面积为（9×2＋9×1＋2×1）×2＝58（平方厘米）。

（3）拼成长方体的长是3厘米，宽是2厘米，高是1×3＝3（厘米）。表面积为（3×2＋3×3＋2×3）×2＝42（平方厘米）。

这道题有以上三种答案，通过画图起到审题和理解题意的作用。

3、分析图

一些应用题，为了能正确审题和分析题目中的数量关系，可以把题目中的条件、问题的相互关系用分析图表示出来。

如，新华中学买来 8张桌子和几把椅子，共花了 817.6元。每张桌子价 78.5元，比每把椅子贵 62.7元，买来椅子多少把？

分析图：

（l）买椅子共花多少钱？817.6－78.5×8＝189.6元）

（2）每把椅子多少钱？78.5－62.7＝15.8（元）

（3）买来椅子多少把？189.6÷15.8＝12（把）

综合算式为：

（817.6－78.5×8）÷（78.5－62.7）

＝189.6÷15.8

＝12（把）

答：买来椅子12把。

4、线段图

一些题目条件多，条件之间关系复杂，一时难以解答。可画线段图表示，寻求解题的突破口。

如，光明小学六年级毕业生比全校总人数的还多30人。新学期一年级新生人学360人，这样现在比原全校总人数增加了。求原来全校学生有多少人？

从图中可以清楚看出，（360－30）人与全校人数的（＋）相对应，求全校人数用除法计算。列式为：

（360－30）÷（＋）＝330÷＝900（人）。

再如，甲乙两人同时从相距88千米的两地相向而行，8小时后在距中点4千米处相遇。甲比乙速度快，甲、乙每小时各行多少千米？

按照题意画线段图：

从图中可以清楚看出，甲、乙8小时各行的距离，甲行全程的一半又多出 4千米，乙行全程的一半少 4千米，这样就可以求出甲、乙的速度了。

甲速：（88÷2＋4）÷8＝6（千米）

乙速：（88÷2－4）÷8＝5（千米）

5、表格图

有些问题，通过列表不仅能分清题目的条件和问题，而且便于区分比较，起到良好的审题作用。

如，小明3次搬运15块砖，照这样计算，小明又搬了4次，共搬多少块砖？

根据条件、问题，列出易懂的表格，能清楚看出已知条件和所求问题。

从表中不难看出，又搬4次和共搬多少块，这两个数量不相对应，要先求一共搬多少次，才能求出共搬多少块，列式为：

15÷3×（3＋4）＝35（块）

另一种思路为，先求又搬4次搬的块数，再加上原有的块数，就是共搬的块数。列式为：

15÷3×4＋15＝35（块）

6、思路图

有些问题因为分析的角度不同，因此解题的思路也不同。通过画图能清楚看出解题思路，便于分析比较。

如，有一个伍分币、4个贰分币、8个壹分币，要拿出8分钱，一共有多少种拿法？

这道题从表面讲一点也不难，但是要不重复。不遗漏地把全部拿法一一说出来也不容易，可以用枚举法把各种情况一一列举出来，把思路写出来。

从图表中可以清楚看出不同的拿法。此题一共有不重复的7种拿法。

从以上各例题中可看出：解题时通过画图来帮助理解题意，起到了化繁为简、化难为易的作用。我们不妨在解题中广泛使用。

《数学课程标准》中把应用题确定为“发展性领域”中的“解决问题”。所谓“解决问题”是综合性、创造性地应用学过的数学知识、方法解决新问题的过程。新教材中已经不再单独设立应用题教学的章节，往往以计算伴随着应用相融合的形式编排。经过实践，我发现，用画图的方法可以帮助学生正确地理解题意，从而有效地解决数学问题，培养学生宽广的思维能力和学习数学的兴趣。
　　一、画图在解决数学问题中的作用
　　（一）画图搭桥，把抽象问题具体化
　　在《数学课程标准》提出的课程目标中，把解决问题作为重要的课程目标，并指出：要使学生面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。画图策略是众多的解题策略中最基本的、也是一个很重要的策略。通过画图，为学生解决抽象的数学问题搭好了桥，帮助学生化抽象为直观，揭示概念本质；化复杂为简单，呈现数量关系；化隐性为显性，再现想象模型；化无序为有序，梳理事件规律等等。从而使学生能从图中理解题意，搜寻到解决问题的突破口，从而形成解题的思路。
　　例如，比多少应用题一直是学生学习的一个难点，学生对谁和谁比，谁多谁少，总是分不清，造成见多就加，见少就减的错误逻辑。如果学生能借助画图来分析数量关系，教学效果就会大大提高。
　　如：同学们站队，从前面数小军站在第5个，从后面数小军站在第6个，你知道这一队一共有几人吗？学生往往算成5＋6=11（人），把小军算了两次。如果学生能画一下图，就不会做错。
　　■
　　三角形代表小军，圆代表其他的同学，从图上我们也能看出小军从前和从后数都数上他了，算了2次，正确列式：5+6-1=10 （人）。通过画图，这道题目的题意就非常清晰。
　　（二）画图方法，能促进学生思维能力的发展
　　根据学生的认知规律，学习都会经历一个从“外化”到“内化”的过程。而学生在画图的过程中，读题、明确问题、寻找条件，把文字转化成图画，发现数量关系，再把图画转成思维，这一系列脑力活动完整地搭建了这个从“外化”到“内化”过程，这个过程会伴随着一些数学思想的渗透，能提高学生的思维能力。
　　二、培养学生运用画图方法解决数学问题的策略
　　（一）引导学生体会画图的作用
　　1.创设问题情境，使学生产生画图的需要。我让男生、女生进行比赛，让学生在比赛中体验画图在解决有关面积计算方面问题的优越性。男生做文字题，女生做转化为示意图题。女生很快完成了，而男生却慢了许多。男生很快发现自己“上当”了：原来，做画图的题要比做文字的题快好多啊！看图解决问题一目了然，更简单！通过讨论，学生们认识到画图在解决有关面积计算方面的问题时确实非常方便、实用，从而体会到画图方法的价值。
　　2.把握时机，使学生切实体会到画图的作用。要使学生体会画图策略的价值和作用，教学时教师应把握两个时机：第一个时机是在学生理解题意有困难，想不到解题方法时，不要为孩子解释题意和提示算法，而是要引导其通过画图整理信息，理解题意、形成思路、寻找解法；第二个时机是学生在解决完问题后，要引导其认识画图整理信息的作用，启发孩子在以后的解题中自觉使用。
　　（二）鼓励学生用不同形式的图解决数学问题
　　在传统的应用题教学中，提到画图教师们想得更多的是线段图，教师把画图作为一个知识教给学生，而不是把它看成帮助学生解决问题的一个策略来进行教学，所以学生不愿意按照老师的要求来画图。新教材把画图作为一种策略来教给学生，而且画图的形式也不只限于线段图。常见的数学图有以下几种：
　　1.线段图：能够把抽象的问题具体化，是一种半抽象半具体的图，尤其在分数应用题中特别突显它的优势。例如：桃树有180 棵，比梨树少2/5，梨树有多少棵？引导学生作图分析：先找到单位“1”梨树的棵数，并用线段表示出来。再由“比梨树少”可画出表示桃树棵数的线段？如图：
　　■
　　这是一道比较复杂的分数应用题，学生通过画图就能很快找到量与率的对应关系，从而正确理解题意，避免不知用乘法还是除法计算的迷茫了。
　　2.树图：在教学“搭配”时，使用“树图”会更加直观。如：有两件不同的上衣，三条不同的裤子，一共有几种不同的搭配方法？
　　■
　　通过画图，这些题目学生就能迎刃而解。
　　3.集合图：能够体现数学的思想及方法。例如：三年级一班有15人参加兴趣活动小组，参加美术小组的有9人，参加合唱小组的有10人，同时参加两个小组的有多少人？如果用画集合图的方法，问题就迎刃而解了。如下图：
　　■
　　通过画图，学生就会发现图中重叠部分就表示同时参加两个小组的人，即9＋10－15=4（人）。
　　4.示意图：在解决问题的过程中，学生们会根据自己的经验，画出一些让我们意想不到的图。这种情况下，教师要充分肯定学生画图的价值，保护学生学习数学的兴趣。例如：一个圆形花坛，它一圈的长度是56米。如果每隔7米种一棵树，这一圈可以种多少颗树？自己动手画一画，就会发现需要栽8棵树。56÷7=8（棵）种树的棵数=间隔数。
　　总而言之，学生可以根据自己的需要画出不同的图来帮助自己分析、理解数量关系，解决实际问题。因此教师应鼓励学生运用多种图的形式分析和解决问题。
　　（三）抓住重要内容来培养学生的画图方法
　　教学要真正做到培养学生运用画图策略解决问题的能力，不是在加深问题的难度上下工夫，而是要通过有代表性的又为学生容易接受的题目，着重培养学生的画图策略，使学生能够产生迁移。这样即使遇到一些未解过的题目，学生经过自己的画图、分析也能找出解答的方法。
　　例如：鸡兔同笼，头共15个，足共40条，鸡兔各几只？这类应用题有两个未知数，如果用方程或假设的方法，低年级同学理解算理都有困难，可是用画图理解比较直观。
　　第一步先画15个头 （ ■）
　　■
　　第二步每个头画2条腿（||）
　　■
　　第三步剩下的10条腿可以分给5个头，每个头画2条腿
　　■
　　由此可见：有4条腿的是兔子，2条腿的是鸡。答案：5只兔子，10只鸡。
　　（四）指导学生循序渐进地掌握画图方法
　　画图方法的掌握不是一朝一夕就能学会，是需要从一年级开始不断训练才能形成的。我认为应该分三步进行教学。第一阶段：“自由画图阶段”我也称它为“画丫阶段”， 是用画图法解决问题的初级阶段，即低年级阶段。这时老师应只观望，让学生自由发挥。无论学生画的如何，教师都应鼓励他们。 第二阶段：规范画图阶段，即中年级阶段。当发现你的学生碰到解决问题画图欲望比较强的时候，找到一个可以作画的载体进入第二阶段规范画图。第三阶段：脑中成图阶段，这是用画图法解决问题的最高阶段。这时学生在规范作图的长期训练后，看到题目能在脑中马上形图，然后根据脑中的图来解决问题，从真正意义上提高学生的解题能力。学生通过运用画图策略解决问题，就能体验画图策略的有效性，感受直观图形对于解题的作用，形成应用画图策略的兴趣和自觉性。
　　（五）引导学生将画图方法与其他学习方法灵活结合
　学生有着不同的知识背景和思考角度，认知水平和领悟力的不同，常常会出现不同的解题方法，这正是学生不同个性的体现。画图方法固然是一种很重要的解题策略，但在解决实际问题中要灵活应用，需要与其他学习方法相结合，充分发挥其作用，达到提高学生解决问题能力的效果。
　　例如：小平和小红同时从a地b地，小平每分钟比小红多走20米。30分钟后小平到b地，然后立即原路返回，在离b地350米处遇到小红。小红每分钟走多少米？我让学生进行题目内容的模拟表演，表演在同学们不断的纠正中越来越正确，说明学生对题目内容的认识也越来越清晰。然后再用线段图将所模拟的情境画下来，这样题目里的数量关系一目了然了，学生的分析思路更清晰了。
　　（六）注重画图方法中数学思想的渗透
　　小学数学基本思想可以分为数形结合思想、对应思想、转化思想等。这些思想是整个小学数学的基石，也是数学通向科学殿堂的桥梁。因此，教师在培养学生利用画图方法解决数学实际问题的过程中，应有意识地渗透数学思想，培养和发展学生的数学能力。
　　1.数形结合的思想
　　数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题和解决问题，就是数形结合思想。“数形结合”可以借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。
　　2.对应的思想
　　小学生在应用题的解答中，很难找准对应的量与率。因为有时“量”是隐蔽条件，有时“率”是隐蔽条件，也有时“量”与“率”都是隐蔽条件。因此，解答此类题目，就必须建立在清晰、明确的量与率对应的前提下。而画图策略在帮助我们明确对应关系中发挥了重要的作用。
　　3.转化的思想
　　转化思想是数学的基本思想之一，也是学生解决数学问题的重要策略之一。有些应用题，按原题的条件，数量关系解答起来比较复杂，如果根据知识之间的内在联系，变换一种方式去思考，恰当地运用直观图形转化题中的数量关系，把原来的问题转化为另一种容易解决的问题，从而打开解题思路，顺利解决问题。
　　教师要善待每一位学生的绘图“作品”，不管是“力作”还是“劣作”，都要一视同仁地肯定其存在的价值。一些看似复杂的应用题，通过画图这座美丽的“桥”，使学生顺利解决数学问题。学生不再谈“题”色变，从对解决问题的“恨”转变到“爱”。让我们借着画图这座“桥”，使所有的孩子都感受解决问题的魅力所在。