高二基本不等式题

a>=0,b>=o,a+b=1，0≤a,≤1，0≤b≤1，b=1-a
√(a+1/2)+√(b+1/2)=√(a+1/2)+√(3/2-a)=y
对y求导，y'=1/[2√(a+1/2)]-1/[2√(3/2-a)]
当y'=0时取得极值，即1/[2√(a+1/2)]=1/[2√(3/2-a)]，解得a=1/2∈[0,1]，此时b=1-a=1/2
此时y(1/2)=√(1/2+1/2)+√(3/2-1/2)=1+1=2
而端点值y(0)=√(0+1/2)+√(3/2-0)=(√2+√6)/2
y(1)=√(1+1/2)+√(3/2-1)=(√2+√6)/2
∴√(a+1/2)+√(b+1/2)的取值范围为：[(√2+√6)/2, 2]

因为√[(x²+y²)/2]≥(x+y)/2
设x=√[a+(1/2)] y=√[b+(1/2)]
则√[a+1/2+b+1/2)/2]≥(√[a+(1/2)] +√[b+(1/2)])/2，即1≥(√[a+(1/2)] +√[b+(1/2)])/2
所以√[a+(1/2)]+√[b+(1/2)]≤2
因为a>0,b>0，所以]√[a+(1/2)] >√2/2，√[b+(1/2)])/2>√2/2
所以√[a+(1/2)] +√[b+(1/2)]>>√2
所以取值范围是（√2，2]

书上都有啊，自己动手找，还可以加强记忆