n个元素的错排有多少种 ？

正整数1、2、3、……、n的全排列有n!种，其中第k位是k的排列有（n-1)!，当k取1、2、3、……、n时，共有n*（n-1)!种排列，由于是错排，这些排列应排除，但是此时把同时有两个数不错排的排列多排除了一次，应补上；在补上时，把同时有三个数不错排的排列多补上了一次，应排除；……；继续这一过程，得到错排的排列种数为 　　M(n)=n!-n!/1!+n!/2!-n!/3!+…+(-1)^n*n!/n!=∑(k=2~n) (-1)^k*n!/k! 　　即M(n)=n![1/0!-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!+..+(-1)^n/n!] 　　注:∑表示连加符号,(k=2~n)是连加的范围
这是百度百科上有的

n 个不同元素的一个错排可由下述两个步骤完成：
第一步，“错排” 1 号元素（将 1 号元素排在第 2 至第 n 个位置之一），有 n - 1 种方法。
第二步，“错排”其余 n - 1 个元素，按如下顺序进行。视第一步的结果，若1号元素落在第 k 个位置，第二步就先把 k 号元素“错排”好， k 号元素的不同排法将导致两类不同的情况发生：
1、 k 号元素排在第1个位置，留下的 n - 2 个元素在与它们的编号集相等的位置集上“错排”，有 f(n -2) 种方法；
2、 k 号元素不排第 1 个位置，这时可将第 1 个位置“看成”第 k 个位置，于是形成（包括 k 号元素在内的） n - 1 个元素的“错排”，有 f(n - 1) 种方法。据加法原理，完成第二步共有 f(n - 2)+f(n - 1) 种方法。
根据乘法原理， n 个不同元素的错排种数
f(n) = (n-1)[f(n-2)+f(n-1)] (n>2) 。
证毕。