230问答网 > 已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R）．（Ⅰ）当函数f（x）的图象过点（-1，0），且方程f

已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R）．（Ⅰ）当函数f（x）的图象过点（-1，0），且方程f

2024-12-12 16:40:28

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回答1：

（Ⅰ）因为f（-1）=0，所以a-b+1=0．（1分）
因为方程f（x）=0有且只有一个根，所以△=b²-4a=0．
所以b²-4（b-1）=0．即b=2，a=1．（3分）
所以f（x）=（x+1）²．（4分）
（Ⅱ）因为g（x）=f（x）-kx=x²+2x+1-kx=x²-（k-2）x+1
=(x?

k?2

)2+1?

(k?2)2

．（6分）
所以当

k?2

≥2或

k?2

≤?2时，
即k≥6或k≤-2时，g（x）是单调函数．（9分）
（Ⅲ）f（x）为偶函数，所以b=0．所以f（x）=ax²+1．
所以F(x)＝

ax2+1x＞0

?ax2?1x＜0.

（10分）
因为mn＜0，不妨设m＞0，则n＜0．
又因为m+n＞0，所以m＞-n＞0．
所以|m|＞|-n|．（12分）
此时F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=am²+1-an²-1=a（m²-n²）＞0．
所以F（m）+F（n）＞0．（14分）