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已知a.b为正实数、试比较a⼀根号b+b⼀根号a与根号a+根号b的大小?

2025-01-05 05:04:10

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回答1：

[a/根号b+b/根号a]-[根号a+根号b]
=[(a根号a+b根号b)/根号(ab)]-[(a根号b+b根号a)/根号(ab)]
=(根号a-根号b)(a-b)]/根号(ab)
=(根号a-根号b)^2(根号a+根号b)/根号(ab)≥0
∴[a/根号b+b/根号a]≥[根号a+根号b]

回答2：

我用另一种简单点的方法给出答案。
∵ a>0 ,b>0
∴ 根号a + b/根号a >= 2* 根号b ①
根号b + a/根号b >= 2* 根号a ②
①+②,并化简
a/根号b+b/根号a>= 根号a+根号b

回答3：

暂$表根号
由排序不等式：
a/$b+b/$a》a/$a+b/$b
即原式左右

回答4：

a/√b+b/√a=(√a^3+√b^3)/√(ab)
√a^3+√b^3=(√a+√b)(a-√(ab)+b]
[a/√b+b/√a] /[√a+√b]= [a-√ab+b]/√ab=[√(a/b)-1+√(b/a)]=(√(a/b)-√(b/a))^2+1
a≠b时 >1
a/√b+b/√a > √a+√b