lim x趋于0，（1+x）的1⼀x次方-e⼀x的极限

2024-12-30 15:54:38

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回答1：

lim(x->0) [(1+x)^(1/x)-e]/x
=lim(x->0) {e^[(1/x)ln(1+x)]-e}/x
=lim(x->0) {e^[1-x/2+o(x)]-e}/x（ln(1+x)泰勒公式）
=lim(x->0)e* {e^[-x/2+o(x)]-1}/x
=lim(x->0)e* {1-x/2+o(x)-1}/x（e^x泰勒公式）
=-e/2

回答2：

lim(x->0) [(1+x)^(1/x)-e]/x
=lim(x->0) {e^[(1/x)ln(1+x)]-e}/x
=lim(x->0) (1+x)^(1/x)*[1/x(1+x)-ln(1+x)/x^2]
=lim(x->0) (1+x)^(1/x)* lim(x->0) [x-(1+x)ln(1+x)]/(1+x)x^2
=e*lim(x->0) [1-ln(1+x)-1]/[x^2+2x(1+x)]
=-e*lim(x->0) 1/(1+x)(6x+2)
=-e/2