第一章 绪论
内容提要
一、基本概念
1.控制：由人或用控制装置使受控对象按照一定目的来动作所进行的操作。
2.输入信号：人为给定的，又称给定量。
3.输出信号：就是被控制量。它表征对象或过程的状态和性能。
4.反馈信号：从输出端或中间环节引出来并直接或经过变换以后传输到输入端比较元件中去的信号，或者是从输出端引出来并直接或经过变换以后传输到中间环节比较元件中去的信号。
5.偏差信号：比较元件的输出，等于输入信号与主反馈信号之差。
6.误差信号：输出信号的期望值与实际值之差。
7.扰动信号：来自系统内部或外部的、干扰和破坏系统具有预定性能和预定输出的信号。
二、控制的基本方式
1.开环控制：系统的输出量对系统无控制作用，或者说系统中无反馈回路的系统，称为开环控制系统。
2.闭环控制：系统的输出量对系统有控制作用，或者说系统中存在反馈回路的系统，称为闭环控制系统。
三、反馈控制系统的基本组成
1.给定元件：用于给出输入信号的环节，以确定被控对象的目标值（或称给定值）。
2.测量元件：用于检测被控量，通常出现在反馈回路中。
3.比较元件：用于把测量元件检测到的实际输出值经过变换与给定元件给出的输入值进行比较，求出它们之间的偏差。
4.放大元件：用于将比较元件给出的偏差信号进行放大，以足够的功率来推动执行元件去控制被控对象。
5.执行元件：用于直接驱动被控对象，使被控量发生变化。
6.校正元件：亦称补偿元件，它是在系统基本结构基础上附加的元部件，其参数可灵活调整，以改善系统的性能。
四、控制系统的分类
（一）按给定信号的特征分类
1. 恒值控制系统
2. 随动控制系统
3. 程序控制系统
（二）按系统的数学描述分类
1. 线性系统
2. 非线性系统
（三）按系统传递信号的性质分类
1. 连续系统
2. 离散系统
（四）按系统的输入与输出信号的数量分类
1. 单输入单输出系统
2. 多输入多输出系统
（五）按微分方程的性质分类
1. 集中参数系统
2. 分布参数系统
五、对控制系统的性能要求
1. 稳定性：指系统重新恢复稳态的能力。稳定是控制系统正常工作的先决条件。
2. 快速性：指稳定系统响应的动态过程的时间长短。
3. 准确性：指控制系统进入稳态后，跟踪给定信号或纠正扰动信号影响的准确度。
1-1 试比较开环控制系统和闭环控制系统的优缺点。
答：优点：开环控制系统无反馈回路，结构简单，成本较低。
缺点：控制精度低，容易受到外界干扰，输出一旦出现误差无法补偿。
1-2 说明负反馈的工作原理及其在自动控制系统中的应用。
答：测量元件检测被控物理量，并将其反馈回来，通过给比较元件与给定信号进行比较，产生偏差信号。再通过放大元件将偏差信号进行放大，以足够的功率来推动执行元件去控制被控对象，从而调节和控制系统，使被控量以一定的精度符合或等于期望值。
1-3 控制系统有哪些基本组成元件？这些元件的功能是什么？
答：反馈控制系统是由各种结构不同的元件组成的。一个系统必然包含被控对象和控制装置两大部分，而控制装置是由具有一定职能的各种基本元件组成的。在不同系统中，结构完全不同的元件却可以具有相同的职能，因此，将组成系统的职能元件按职能分类主要有以下几种：
给定元件：用于给出输入信号的环节以确定被控对象的目标值（或称给定值）。
测量元件：用于检测被控量，通常出现在反馈回路中。
比较元件：用于把测量元件检测到的实际输出值经过变换与给定元件给出的输入值进行比较，求出它们之间的偏差。
放大元件：用于将比较元件给出的偏差信号进行放大，以足够的功率来推动执行元件去控制被控对象。
执行元件：用于直接驱动被控对象，使被控量发生变化。
校正元件：亦称补偿元件，它是在系统基本结构基础上附加的元部件，参数可灵活调整，以改善系统的性能。
1-4 对自动控制系统基本的性能要求是什么？最首要的要求是什么？
答：基本性能要求：稳、快、准。最首要的要求是稳。
1-5 日常生活中有许多闭环和开环控制系统，试举几个具体例子，并说明它们的工作原理。
答：开环控制系统：例如传统的洗衣机，它按洗衣、清水、去水、干衣的顺序进行工作，无须对输出信号即衣服的清洁程度进行测量；又如简易数控机床的进给控制，输入指令，通过控制装置和驱动装置推动工作台运动到指定位置，而位置信号不再反馈。这些都是典型的开环系统。
闭环控制系统：以数控机床工作台的驱动系统为例。一种简单的控制方案是根据控制
装置发出的一定频率和数量的指令脉冲驱动步进电机，以控制工作台或刀架的移动量，而对工作台或刀架的实际移动量不作检测。这种控制方式简单，但问题是从驱动电路到工作台这整个“传递链”中的任一环的误差均会影响工作台的移动精度或定位精度。为了提高控制精度，采用反馈控制，以检测装置随时测定工作台的实际位置（即其输出信息）；然后反馈送回输人端，与控制指令比较，再根据工作台实际位置与目的位置之间的误差，决定控制动作，达到消除误差的目的，检测装置即为反馈环节。
1-6 试说明如题图1-6(a)所示液面自动控制系统的工作原理。若将系统的结构改为如题图1-6(b)所示，将对系统工作有何影响？
答：（a）图所示系统，当出水阀门关闭时，浮子处于平衡状态，当出水阀门开启，有水流出时，水槽中的水位下降，浮子也会下降，通过杠杆作用，进水阀门开启，水流进水槽，浮子上升。
（b）图所示系统，假设当前出水阀门关闭时，浮子处于平衡状态，当出水阀门开启，有水流出时，水槽中的水位下降，浮子也会下降，通过杠杆作用，进水阀门会随着水的流出而逐渐关闭，直至水槽中的水全部流出。
1-7 某仓库大门自动控制系统的原理如题图1-7所示，试说明自动控制大门开启和关闭的工作原理，并画出系统方框图。
答：系统的方块图如题图1-7(a)所示。
如果希望开门，则将门当前状态对应的电压取出，与开门状态参考电位比较（相减），然后送放大器，驱动伺服电机，带动绞盘使门打开，直到门的状态所对应的电压与开门状态参考电位相等时，放大器比较（相减）的结果为零，执行元件不工作，门保持打开状态不再变化。
如果希望关门，则将门当前状态对应的电压取出，与关门状态参考电位比较（相减），然后送放大器，驱动伺服电机，带动绞盘使门关闭，直到门的状态所对应的电压与关门状态参考电位相等时，放大器比较（相减）的结果为零，执行元件不工作，门保持关闭状态不再变化。
1-8 题图1-8表示角速度控制系统原理图。离心调速的轴由内燃发动机通过减速齿轮获得角速度为的转动，旋转的飞锤产生的离心力被弹簧力抵消，所要求的速度由弹簧预紧力调准。当突然变化时，试说明控制系统的作用情况。
答：工作原理：当发动机带动负载转动时，通过齿轮带动一对飞锤作水平旋转。飞锤通过铰链可带动套筒上下滑动，套筒内装有平衡弹簧，套筒上下滚动时通过连杆调节燃料供给阀门的开度。当发电机正常运行时，飞锤旋转所产生的离心力与弹簧的反弹力相平衡，套筒保持某个高度，使阀门处于一个平衡位置。如果由于负载增大使发电机转速下降，则飞锤因离心力减小而使套筒向下滑动，并通过连杆增大燃料供给阀门的开度，从而使发电机的转速回升。同理，如果由于负载减小使发电机转速增大，则飞锤因离心力增加而使套筒向上滑动，并通过连杆减小燃料供给阀门的开度，迫使发电机的转速回落。这样，离心调速器就能自动地抵制负载变化对转速的影响，使发电机的转速保持在期望值附近。
1-9 角位置随动系统原理图如题图1-9所示，系统的任务是控制工作机械角位置，随时跟踪手柄转角。试分析其工作原理，并画出系统方框图。
答：（1）工作原理：闭环控制。
只要工作机械转角与手柄转角一致，两环形电位器组成的桥式电路处于平衡状态，无电压输出。此时表示跟踪无偏差，电动机不动，系统静止。
如果手柄转角变化了，则电桥输出偏差电压，经放大器驱动电动机转动。通过减速器拖动工作机械向要求的方向偏转。当时，系统达到新的平衡状态，电动机停转，从而实现角位置跟踪目的。
（2）系统的被控对象是工作机械，被控量是工作机械的角位移。给定量是手柄的角位移。控制装置的各部分功能元件分别是：手柄完成给定，电桥完成检测与比较，电动机和减速器完成执行功能。
系统方框图如题图1-9（2）所示。
1-10 题图1-10是电炉温度控制系统原理示意图。试分析系统保持电炉温度恒定的工作过程，指出系统的被控对象、被控量以及各部件的作用，最后画出系统方块图。
（1）工作原理：闭环控制。
只要热电偶测量电炉温度输出的电压与给定电压一致，则无偏差电压产生，电压放大器和功率放大器无电压输出，电动机不动，电阻丝发热不变，系统静止。
如果电炉温度变化了，热电偶测量电炉温度输出的电压也发生变化，与给定电压不一致，产生偏差电压，经放大器驱动电动机转动，由减速器减速后拖动滑动变阻器指针移动，电阻丝发热功率改变。当炉温对应的电压与给定电压相等时，系统达到新的平衡状态，电动机停转，从而实现恒温控制的目的。
（2）系统的被控对象是电炉，被控量是炉温。给定参考量是给定电压。控制装置的各部分功能元件分别是：滑动变阻器完成比较，热电偶完成检测，放大器、电动机和减速器完成执行功能。
系统方框图如题图1-10（a）所示。
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
内容提要
一、拉普拉斯变换的定义
设时间函数，≥0，则的拉普拉斯变换定义为：。
二、典型时间函数的拉氏变换
1. 单位脉冲函数，
2. 单位阶跃函数，
3. 单位斜坡函数，
4. 单位加速度函数，
5. 指数函数，
6. 正弦函数，
7. 余弦函数，
8. 幂函数，
三、拉氏变换的性质
1.线性性质
若有，，为常数。则
2. 延时定理
若有
3. 周期函数的拉氏变换
若函数是以为周期的周期函数，即，则有
4. 复数域位移定理
若，对任意常数（实数或复数），则有
5. 时间尺度改变性质
若，是任意常数，则
6. 微分性质
若，则
7. 积分性质
若，则
8. 初值定理
若，且存在，则
9. 终值定理
若且存在，则
10. 复微分定理
若，则
11. 复积分定理
若，则
12. 卷积定理
2-1 试求下列函数的拉氏变换
（1）
解：
（2）
解：
（3）
解：
（4）
解：
（5）
解：
（6）
解：
（7）
解：
（8）
解：
2-2 已知
（1）利用终值定理，求时的值。
解：
（2）通过取拉氏反变换，求时的值。
解：
2-3 已知
（1）利用初值定理求值。
解：
（2）通过取拉氏反变换求，然后求。
解：
2-4 求下列图所示函数的拉氏变换。
解：（1）根据周期信号的拉氏变换性质，可得
解：
2-5 试求下列函数的拉氏反变换
（1）
解：
（2）
解：
（3）
解：
（4）
解：
（5）
解：
（6）
解：
（7）
解：
（8）
解：
2-6 求下列卷积
（1）
解：
（2）
（3）
（4）
2-7 用拉氏变换的方法解下列微分方程
（1）
解：
（2）
第三章 系统的数学模型
内容提要
一、基本概念
1. 线性系统
当系统的数学模型能用线性微分方程描述时，这种系统称为线性系统。线性系统微分方程的一般表达式为
2. 非线性系统
由非线性微分方程来描述其动态特性的系统，称为非线性系统
二、系统的微分方程建立的步骤
1.确定系统或者元件的输入量、输出量。系统的输入量或者扰动输入量都是系统的输入量，而被控量则是输出量。对于一个环节或者元件而言，应该按照系统信号传递情况来确定输入量、输出量。
2.按照信号的传递顺序，从系统的输入端开始，依据各变量所遵循的运动规律（如电路中的克希荷夫定律，力学中的牛顿定律，热力系统中的热力学定律以及能量守恒定律），列写出在运动过程中的各个环节的动态微分方程。列写时按工作条件，忽略一些次要因素，并考虑相邻元件之间是否存在负载效应。
3.消去所列各微分方程组的中间变量，从而得到描述系统的输入、输出量的微分方程。
4.整理所得微分方程。一般将与输出量有关的各项放在等号左侧，与输入量有关的各项放在等号的右侧，并按照降幂排列。
三、传递函数
传递函数的定义：单输入、单输出线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与其输入量的拉氏变换之比，即为线性定常系统的传递函数。
四、典型环节的传递函数
1. 比例环节
2. 惯性环节
3. 积分环节
4. 微分环节
5. 振荡环节
6. 延迟环节
五、信号流图
信号流图是一种表示一组联立线性代数方程的图。从描述系统的角度来看，它描述了信号从系统中一点流向另一点的情况，并且表明了各信号之间的关系，包含了结构图所包含的全部信息，与结构图一一对应。
梅逊公式：
式中，——总传递函数；
——第条前向通路的传递函数；
——信号流图的特征式。
式中，——第条回路的传递函数；
——系统中所有回路传递函数的总和；
——两个互不接触回路传递函数的乘积；
——系统中每两个互不接触回路传递函数乘积之和；
——三个互不接触回路传递函数的乘积；
——系统中每三个互不接触回路传递函数乘积之和；
——为第条前向通路特征式的余因子，即在信号流图的特征式中，将与第条前向通路相接触的回路传递函数代之以零后求得的，即为。
六、系统的状态空间描述
（一）单变量系统的状态方程描述
1．状态方程
阶线性定常单输入单输出系统的状态方程为
简写为
2．输出方程
若指定作为输出量，则系统输出方程的矩阵形式为
或简写成
3．状态空间表达式
（二）多变量系统的状态方程描述
或改写为矩阵方程
3-1求题图3-1(a)、(b)所示系统的微分方程。
解：（1）输入f(t),输出y(t)
(2)对质量块m：
(3)整理得：
（b）解：(1) 输入f(t),输出y(t)
(2)引入中间变量x(t)为连接点向右的位移，（y>x）
(3) ①
②
(4)由①、②消去中间变量得：
3-2 求题图3-2(a)、(b)、(c)所示三个机械系统的传递函数。图中，表示输入位移，表示输出位移。假设输出端的负载效应可以忽略。
（a） 解：（1）输入输出
（2）对质量块m：
（3）整理得：
（4）两边进行拉氏变换得：
（5）传递函数：
（b）解：（1）输入输出
（2）引入中间变量x为与c之间连接点的位移
（3） ①
②
（4）消去中间变量x,整理得：
（5）两边拉氏变换：
（6）传递函数：
（c）解：（1）输入输出
（2）
（3）两边拉氏变换：
（4）传递函数：
3-3 求题图3-3所示机械系统的微分方程。图中为输入转矩，为圆周阻尼，为转动惯量。
解：设系统输入为（即），输出为（即），分别对圆盘和质块进行动力学分析，列些动力学方程如下：
消除中间变量，即可得到系统动力学方程
3-4 设皮带轮传动系统如题3-4图所示，图中，轮1和轮2的半径分别为和，转动惯量为和，黏性摩擦系数为和。若皮带传动无滑动并忽略皮带质量，试求该皮带轮传动系统的传递函数。其中，为输入转矩，为输出转角。
解：轮1的转矩方程为
轮2的转矩方程为
对上述两式去拉氏变换，并设初始条件为零，则有
由于轮1和轮2做功相等，所以有
则
将与的关系代入上述拉氏变换方程，消去中间变量和，可得
整理后可得
其中。
3-5 证明题图3-5(a)和(b)所示系统是相似系统。
解：（a）(1)输入，输出
（2）系统的传递函数：
（b）（1）输入，输出
（2）引入中间变量x为与c1之间连接点的位移
（3） ① ②
（4）两边拉氏变换： ①
②
（5）消去中间变量整理得：
（6）传递函数：
（a）和（b）两系统具有相同的数学模型，故两系统为相似系统。
3-6 在题图3-6所示的无源网络中，已知，试求网络的传递函数，并说明该网络是否等效于RC网络串联？
解 对于题图3-6。利用复数阻抗的方法可得网络的传递函数为
由于两个RC网络串联的传递函数为
故该网络与两个RC网络串联形成的网络不等效。
3-7 输出与输入的关系为
(a)求当工作点分别为时相应的稳态输出值。
(b)在这些工作点处作小偏差线性化模型，并以对工作点的偏差来定义和，写出新的线性化模型。
解：(a)将分别代入中，即得当工作点为时，相应的稳态输出值分别为。
(b)根据非线性系统线性化的方法有，在工作点附近，将非线性函数展开成泰勒级数，并略去高阶项得
所以
若令，有
当工作点为时，
当工作点为时，
当工作点为时，
3-8 若系统传递函数方框图如题图3-8所示，求：
(1)以为输入，当时，分别以为输出的闭环传递函数。
(2)以为输入，当时，分别以为输出的闭环传递函数。
(3)比较以上各传递函数的分母，从中可以得到什么结论。
解：(1)以为输入，当时：
若以为输出，有
若以为输出，有
若以为输出，有
若以为输出，有
(2)以为输入，当时：
若以为输出，有
若以为输出，有
若以为输出，有
若以为输出，有
(3)从上可知：对于同一个闭环系统，当输入的取法不同时，前向通道的传递函数不同，反馈回路的传递函数不同，系统的传递函数也不同，但系统的传递函数的分母保持不变，这是因为这一分母反映了系统的固有特性，而与外界无关。
3-9 已知一系统由如下方程组组成，试绘制系统结构图并求闭环传递函数C(s)/R(s)。
解：根据系统方程组可绘制系统结构图，如题图3-9所示。
由
可得：
代入
得
又因为
故
即
又解：（1）运用结构简化的办法，将的引出点后移，可得系统的前向通道传递函数为
则系统的闭环传递函数为
（2）运用信号流图的办法，本系统有一条前向通道，三个单独回路，无互不接触回路
，
由梅逊公式可得系统的传递函数为
3-10 试简化题图3-10所示系统结构图，并求出相应的传递函数和。
解：当仅考虑作用时，经过反馈连接等效可得简化结构图（题图3-10(a)），则系统的传递函数为
当仅考虑作用时，系统结构如题图3-10（b）所示。系统经过比较点后移和
串、并联等效，可得简化结构图，如题图3-10（c）所示。则系统传递函数为
又解：可用信号流图方法对结果进行验证。
题图3-10系统的信号流图如题图3-10（d）所示。
当仅考虑作用时，由图可知，本系统有一条前向通道，两个单独回路，无互不接触回路，即
由梅逊公式可得系统的传递函数为
当仅考虑作用时，由图可知，本系统有两条前向通道，两个单独回路，无互不接
触回路，即
，
，
由梅逊公式可得系统的传递函数为
.
3-11 已知某系统的传递函数方框如题图3-11所示，其中，R(s)为输入，C(s)为输出，N(s)为干扰，试求，G(s)为何值时，系统可以消除干扰的影响。
解：
若使，
则，即
3-12 求题图3-12所示系统的传递函数。
解：
3-13求题图3-13所示系统的传递函数。
解：
3-14 求题图3-14所示系统的传递函数。
解：
3-15 求题图3-15所示系统的传递函数
解：（1）
（2）
3-16 已知系统的信号流图如题图3-16所示，试求系统的传递函数。
解：考察题图3-16，本系统有一条前向通道，三个单独回路，无互不接触回路，即
由梅逊增益公式可得传递函数为
3-17 设系统的微分方程为
试求系统的状态空间表达式。
解：若，可导出状态方程和输出方程
3-18 给定系统传递函数为
试写出它的状态空间表达式。
解：
3-19 设系统传递函数为
试用MATLAB数学模型转换函数转换成系统状态方程。
解：在MATLAB命令窗口输入下述MATLAB数学模型转换程序，将产生矩阵A、B、C、D．
num=[0 0 0 1];
den=[1 3 2 1];
[A B C D]=tf2ss(num,den)
A =
-3 -2 -1
1 0 0
0 1 0
B =
1
0
0
C =
0 0 1
D =
0
即该系统状态方程为
3-20 系统状态方程为
试用MATLAB数学模型转换函数转换成系统传递函数。
解：在MATLAB命令窗口输入下述MATLAB数学模型转换程序
A=[-8,-16,0;1,0,0;0,1,0];
B=[1;0;0];
C=[1,4,3];
D=[0];
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)
num =
0 1.0000 4.0000 3.0000
den =
1 8 16 0
即该系统传递函数为
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