用数学归纳法。一个特征值对应的特征向量线性无关。假设结论对k-1成立，则对k，设p1,p2，。。。pk是对应于不同特征值a1，a2，。。。，ak的特征向量，令b1p1+...+bkpk=0，左乘A得，b1a1p1+....+bkakpk=0，第一式乘a1与第二式相减得b2(a2-a1)p2+...+bk(ak-a1)pk=0，由归纳前提有bi(ai-a1)=0，而ai-a1不为0，故bi=0，i=2,3,...,k。代入第一式知b1=0。于是结论成立。
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