为什么f(z)=z(z上面有一横~)不可导？求详细解释

2025-03-16 08:45:24

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回答1：

可以直接验证这个复函数不满足柯西—黎曼条件。
因为函数比较简单，直接根据定义验证也不麻烦。下面直接验证，希望对你理解复变函数的导数有所帮助。
在任一点
z0,
如果导数存在，
则有
lim(|z|--->0)
（
f(z0+z)-f(z0))/z
=
f'(z0)
设
z0=
x0+y0i,
z=x+yi,
有：
lim(|z|--->0)
(x-yi)/(x+yi)
----->
f'(z0)
因为这对一切
|z|--->0
必须成立。我们可以看两种特殊情形：
1.
y=0,
于是
lim(|z|--->0)
(x-yi)/(x+yi)
=
lim(|z|--->0)
(x)/(x)=1,
即
f'(z0)必须=1
2.
x=0,
于是
lim(|z|--->0)
(x-yi)/(x+yi)
=
lim(|z|--->0)
(-yi)/(yi)=-1,
即
f'(z0)必须=-1
由上知道，不可能存在一个
f'(z0)
使得对一切|z|--->0，lim(|z|--->0)
（
f(z0+z)-f(z0))/z
=
f'(z0)
都成立。
所以
f(z)=z(z上面有一横~)不可导