长春市十一高中2010-2011学年度高二下学期期末考试 　　数 学 试 题（理） 　　本试卷分第Ⅰ卷（选择题）

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2009－2010年度第一学期期末调研考试
高二数学(文科)试卷
(满分160分，考试时间120分钟)

一、填空题 本大题共14小题，每小题5分，共70分. 把答案填写在答题卡相应位置.
1. 双曲线 的离心率是 ▲ .
2. 设复数 ， ，则 等于 ▲ ．
3. 三鹿婴幼儿奶粉事件发生后，质检总局紧急开展液态奶三聚氰胺的专项检查. 设 蒙牛、
伊利、光明三家公司生产的某批次液态奶分别是2400箱、3600箱和4000箱， 现从中
共抽取500箱进行检验，则这三家公司生产的液态奶被抽取的箱数依次为 ▲ .
4. 命题“ =0”的否定是 ▲ .
5. 将容量为100的样本数据分为8个组，如下表：
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 10 13 14 15 13 12 9
则第3组的频率为 ▲ .
6. 样本a1, a2, a3, …, a10的平均数为 ，样本b1, b2, b3, …, b20的平均数为 , 则
样本a1，a2，a3，…，a10, b1，b2，b3，…，b20的平均数为 ▲ (用 , 表示).
7. 根据如图所示的伪代码表示的算法，可得f(1)+f(4)= ▲ .
8. 从装有5只红球、5只白球的袋中任意取出3只球，有下
列事件：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
①“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；
②“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”；
③“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；
④“取出3只红球”与“取出3只白球”.
其中是对立事件的是 ▲ (写序号).
9. 按右图所示的程序框图操作，若将输出的数按照输出
的先后顺序排列，则得到数列 ，则数列 的
通项公式是 ▲ .
10. 在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在
内部任意作一条射线CM，与线段AB交于点M，则
AM11. 已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆，
则t的取值范围是 ▲ .
12. 如图所示，水波的半径以1m/s的速度向外扩张，
当半径为5m时，这水波面的圆面积的膨胀率是
▲ m2/s.
13. 以下是关于圆锥曲线的四个命题：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，若PA－PB＝k，则动点P的轨迹是双曲线；
②方程 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
③双曲线 与椭圆 有相同的焦点；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
④以过抛物线的焦点的一条弦AB为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切.
其中真命题为 ▲ (写出所以真命题的序号).
14. 已知函数f(x)的定义域为 ，且 ，
的导函数，函数 的图象如图所示，
则在平面直角坐标系aOb中，平面区域
的面积是 ▲ .

二、解答题：本大题共6小题，共90分. 请将解答填写在答题卡规定的区域内，否则答题无效. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分14分)
如图，一个抛物线形拱桥，当水面离拱顶4m时，水面宽8m.
(1)试建立坐标系，求抛物线的标准方程；
(2)若水面上升1m，求水面宽度.

16. (本小题满分14分)
已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，14，18，20，且总体
的中位数为10.5 (将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据或最中间
两个数据的平均数叫做这组数据的中位数).高.考.资.源.网
(1)求该总体的平均数；高.考.资.源.网
(2)求a的值，使该总体的方差最小.

17. (本小题满分14分)
某射击运动员射击1次，命中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.20，0.22，0.25，
0.28. 计算该运动员在1次射击中：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(1)至少命中7环的概率；
(2)命中不足8环的概率.网

18. (本小题满分16分) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
如图，过点 的两直线与抛物线 相切于A、B两点， AD、BC
垂直于直线 ，垂足分别为D、C，求矩形ABCD面积的最大值.

19. (本小题满分16分)
已知 ，设命题p：在平面直角坐标系xOy中，方程 表示双曲线；
命题q：函数 在 上存在极值. 求使“p且q”
为真命题的m的取值范围.

20. (本小题满分16分)
已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点 ，它们在y轴上有一个公共焦点，椭圆和
双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.
(1)求这三条曲线的方程；
(2)已知动直线l过点 ，交抛物线于 两点，是否存在垂直于y轴的直线 被
以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出 的方程；若不存在，说明理由.

高二(文科)数学参考答案及评分标准200901

一、 填空题(5分×14＝70分)
1. 2 2. 5－i 3. 120，180，200
4. 5. 0.14 6.
7. 1 8. ③ 9.
10. 11. 12.
13. ②③④ 14. 4

二、解答题
15. (14分)
(1)如图建立坐标系，设抛物线的标准方程为 . -----------------------3分
由已知条件可知，点B的坐标是 ，代入方程，
得 ，即 . -----------------------6分
所以，所求抛物线标准方程是 -----------------------7分
(2)若水面上升1m，则 , -----------------------10分
代入 ，得 , . ----------------13分
所以这时水面宽为 m. --------------------14分
16．(14分)
(1)由题意得 , 即a+b=21. ---------------------2分
于是2+3+3+7+a+b+12+14+18+20=100， ---------------------4分
所以2，3，3，7，a，b，12，14，18，20的平均数为 . --------------------6分
(2)设2，3，3，7，a，b，12，14，18，20的方差为s2，则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
s2=

. ---------------------11分
故当 时，总体的方差s2取得最小值. -------------------14分

17．(14分)
记事件“射击1次，命中k环”为Ak( ，且 )，
则事件Ak彼此互斥. --------------------2分
(1)记“射击1次，至少命中7环”为事件A，那么当A10，A9，A8，A7之一发生时，事件A发生. 由互斥事件的概率加法公式，得
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

=0.20+0.22+0.25+0.28=0.95. ---------------------6分
(2)事件“射击1次，命中不足7环”是事件“射击1次，至少命中7环”的对立事件，即 表
示事件“射击1次，命中不足7环”. 根据对立事件的概率公式，得
-------------------9分
记事件“射击1次，命中不足8环”为B，那么 与A7之一发生，B发生，
而 与A7是互斥事件，于是 -------------12分
答：该运动员在1次射击中, 至少命中7环的概率为0.95；命中不足8环的概率为0.33.
----------------------14分
(第(2)小题若先计算事件“至少命中8环”的概率，在依对立事件的概率公式求解，参照评阅)
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
18. (16分)
设切点为 ，则 . -------------------1分
因为 ，所以切线方程为 , 即 ，----------3分
因为切线过点 ，所以 ，即 ，于是 .--------------5分
将 代入 得 . -------------------7分
(若设切线方程为 ，代入抛物线方程后由 得到切点坐标，亦予认可.)
所以 ， --------------------9分
所以矩形面积为 ， --------------10分
于是 . ---------------12分
所以当 时， ；当 时， ； ----------------14分
故当 时，S有最大值为 . ------------------16分

19．(16分)
命题p为真命题 . ---------------3分
对于函数 ，有 . -------------6分
函数 在 上存在极值
有两个不等实根w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
---------------10分
于是命题q为真命题 . -----------------11分
所以“p且q”为真命题 命题p和q都是真命题 ------------------13分
-----------------15分
故使“p且q”为真命题的m的取值范围是 . --------------16分

20．(16分)
(1) 设抛物线方程为 ，将 代入方程得
所以抛物线方程为 . ------------------2分
由题意知, 椭圆、双曲线的焦点为 .
设椭圆的方程为 ，则由椭圆定义得
，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
于是 ，
所以椭圆的方程为 . -------------------5分
设双曲线的方程为 ，则由双曲线定义得
，
于是 ，
所以双曲线的方程为 . ----------------------8分
(2)设 ，则AP的中点C . --------------------9分设 的方程为 ，C到 的距离为h，以AP为直径的圆半径为r， 被圆截得的弦长为d.
则 ，
， ------------------12分
因为点 在抛物线 上，所以 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
由 ，
得
--------------------14分
当a=2时，d2=8， . ----------------------15分
故存在直线 ：y=2，它被以AP为直径的圆截得的弦长为定值(定值为 ). ----------------16分