230问答网 > 若（X-1)^2-｜X-1｜+K=0，则存在实数K满足方程有2，4，5，8个解，其中有几个假命题

若（X-1)^2-｜X-1｜+K=0，则存在实数K满足方程有2，4，5，8个解，其中有几个假命题

2025-02-22 10:45:47

推荐回答（4个）

回答1：

你虽然改了题目，但是我的方法依然是没有错的，只是需要换元，而已。图象见http://hi.baidu.com/caiwenyu/album/item/31a0a7ccf79f581801e928a8.html

现在我们设t=x^2,(t>=0)则

f(t) = (t-1)^2,g(t) = |t-1| + k,画图，f(t)的图像是以t=1为对称轴,过(0,1)的一条抛物线(因为t的定义域限制，所以只能取t>=0的抛物线)。

对于g(t),为了方便起见，我们先设k=0,这个时候，g(t)的图像是以t=1为对称轴,的两条在t轴上方的直线(同样也是取t>=0的部分)，分别为：

g(t) = t-1 or -t-1

由于上面讨论的是k=0的情况，当k不等于0时，g(t)图像将沿着t=1上下移动，在这种情况下很容易看出他与f(t)的交点个数情况，也就是根的情况。

现在这样考虑，当g(t)沿t=1从负无穷到正无穷（从下往上）移动时.

首先出现的情况是2个根，这个时候只能是g(t)的两条直线与f(t)相切.求切点，对f(t)求导，则

f'(t) = 2(t-1)，

我们只要算右半支，另外可由对称得出，由于相切的时候，切点的斜率为1，则令

f'(t) = 1 = 2(t-1),

所以求得，t = 3/2,

对于另外一个根，由对称，容易求得，t=1/2.

将t = 3/2代入f(t),得f(3/2)=1/4，则切点坐标为（3/2，1/4），

由于斜率为1，所以和f(x)有一个交点（右半支，由于对称所以另一半还有一个交点）的斜率为1的直线方程为

y - 1/4 = t - 3/2 => y = t - 1/2.

综上分析，这条右半支直线就是g(t)的右半支，所以，

t - 1 - k = t - 1/2,

故求出k = -1/2.

把t=1/2和3/2分别代入x^2=t中，

则x有4个根，分别为：

x = sqrt(6)/2 or -sqrt(6)/2 or sqrt(2)/2 or -sqrt(2)/2

随着g(t)的上移，当g(t)与f(t)相割的时候就出现了4个交点的情况。由于确定这种情况下k的范围比较复杂，我们先讨论有三个交点的情况，容易观察出，这种情况k的范围就是介于有一个交点的情况和有三个交点的情况之间。

现在分析三个交点，这个很简单，当k=0时很明显，有三个交点，所以根分别为t = 0 or 1 or 2,对应的x有5个根，

x = sqrt(t) or -sqrt(t)

x = 0,1,-1,sqrt(2),-sqrt(2)

所以刚才两个交点的情况就很简单了，并且很容易观察得到所有的交点都是在t>=0范围，所以，-1/2 < k < 0 时，有四个根，对应的x就有8个根

这个时候g(t)继续向上移动，k>0时，观察图像很容易看出，左支的抛物线和直线方程已经没有交点了，只有右边有一个交点，对应的x有2个根。

综上所述，

当 k < -1/2时，方程没有根

当 k = -1/2时，方程有4个根，为x = sqrt(6)/2 or -sqrt(6)/2 or surt(2)/2 or -sqrt(2)/2

当 -1/2 < k < 0 方程有8个根（g(t)每支与f(t)相割成2个交点，共4个交点，对应的x有8个根）

当 k = 0 时，方程有5个根，为 x = 0,1,-1,sqrt(2),-sqrt(2)

当 k > 0 时，x有2个根。

sqrt()为开方函数，sqrt(3)表示的是根号3。

图象我画完了再贴上去。

回答2：

本题无需求导，只要二次函数与二次方程的知识就够了，但要求具有较强的分析问题的能力.

解答：
令｜X^2-1|=t.............①
则方程化为t^2-t+k=0....②
作出函数①的图象，结合函数的图象可知：
⑴当t=0或t>1时方程①有2个不等的根；
⑵当0⑶当t=1时，方程①有3个根；

由②，得k＝-t^2+t（t≥0）,由二次函数知识得k≤1/4.
下面分三种情况求解：
⑴若k=0，代入方程②，解得②有两个不等根t=0或t=1,故由⑴⑶知道此时原方程有5个根；

⑵若0方程②的判别式Δ＝1-4k＞0，
所以方程②有两个不等实数根，设为t1,t2,显然t1+t2=1>0,t1*t2=k>0,
所以方程②有两个不等正根，由于0所以方程②有两根且均大于0小于1，
故由⑵知，满足方程①的解有8个，
所以当0
⑶若k＝1/4，方程②有两个相等正根t＝1/2，
显然此时0
⑷若k＜0，则②的根是(注意判别式Δ＝1-4k＞1)：
t＝(1/2)[1-根号下(1-4k)]<0,或t＝(1/2)[1+根号下(1-4k)]＞1
所以k＜0时，方程②唯一的正数根t＜1，
所以此时原方程有2个解

综合以上，当k＜0时，原方程有2个解，当k=0时，原方程有5个根；当0没有假命题。

说明：画函数｜X^2-1|=t图象的方法：
第一步：画出函数t＝X^2-1的图象（这个很好画的）
第二步：将第一步中的图象上位于x轴下放的部分，做一个关于x轴的对称，即翻转到x轴上方去。要翻转上去的原因是函数中有“绝对值”，而绝对值是非负值。

回答3：

图我做不出来做法如下：
由（X-1)^2-｜X-1｜+K=0得（X-1)^2=｜X-1｜-K
设F(x)=（X-1)^2,g(x)=｜X-1｜,画出F(X)和g(x)的图像，将g(x)上下移动，看交点有几个就有几个解，我自己用几何画板做了下，
k<0左右或k=0.26左右时,有2个解
k=0.16左右时,有4个解
5个和8个解的情况我没看出来，我觉得也不可能
我解释一下，若x-1>0，原方程可化成一个一元二次方程，最多2个解；同理x-1<0时，最多也是2个解。

回答4：

有四个

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