230问答网 > 已知f(x)=x^3+2x^2-ax+1在区间（-1,1）上是单调函数，求实数a的取值范围。

已知f(x)=x^3+2x^2-ax+1在区间（-1,1）上是单调函数，求实数a的取值范围。

2024-12-29 18:41:07

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回答1：

f'(x)=3x²+4x-a
函数在区间(-1，1)上是单调函数，则x∈(-1，1)时，
3x²+4x-a≥0或3x²+4x-a≤0
令g(x)=3x²+4x-a
g(x)=3(x+2/3)²-a-4/3
顶点(-2/3，-a-4/3)横坐标x=-2/3在区间上，当x=-2/3时，g(x)有最小值g(x)min=-a-4/3
(1)
3x²+4x-a≥0时，
-a-4/3≥0
a≤-4/3
(2)
3x²+4x-a≤0时，即g(x)取最大值时，g(x)≤0
令x=-1 g(x)=3-4-a=-1-a≤0 a≥-1
令x=1 g(x)=3+4-a≤0 a≥7
a≥7
综上，得a≤-4/3或a≥7

回答2：

f'(x)=3x²+4x-a在区间（-1,1）上恒非负，或恒非正
f'(x)=3x²+4x-a
当 x=-2/3时，f'(x)的最小值-a- 4/3
当 x=1时，f'(x)的最大值7-a
(1)f'(x)恒非负，
最小值≥0， -a-4/3≥0, a≤-4/3
(2)f'(x)恒非正，
最大值≤0 7-a≤0 ，a